Quello che ho Imparato in Tanti Anni di Insegnamento di Calcolo per la Prima YearCollege Studenti

Quello che ho Imparato in Tanti Anni di Insegnamento di Calcolo

al Primo Anno di College e Studenti

AMTNJ Conferenza

Mantenere la Matematica in Pista: Colmare il Divario

Tra il liceo e l’università di Matematica

Gennaio 14, 2005

Brookdale Community College

Giuseppe G. Rosenstein (Rutgers-NewBrunswick)

Perché così tanti studenti del primo anno hanno difficoltà concalcolo quando sembrano essere ben preparati?

L’ultima volta che ho insegnato il calcolo del primo semestre 41% degli studenti di the61 nella classe è finito con gradi di C o peggio.

Ecco alcuni altri dati. l ‘ 82% degli studenti della classe aveva un semestre o più di calcolo in high school, e il 73% aveva un anno o più di calcolo al liceo. (35% aveva anche un anno di calcolo AP.) A detta di tutti, questo è un gruppo che èben preparato per il calcolo del college.

La cattiva notizia è che se mettiamo insieme i dati, possiamo concludere che almeno il 23% dei miei studenti aveva seguito un corso di calcolo al liceo ma non era riuscito a fare meglio di C in un corso di calcolo incollege.

Perché ci sono così tanti studenti che hanno seguito corsi sostanzialimath al liceo, ma non hanno successo nel calcolo?

In questo breve discorso, discuterò tre tipi di problemi –contenuto, processo e questioni personali – il tutto in circa 15 minuti e poi aprirò il piano per la discussione.

Sotto “contenuto”, il problema principale non è che gli studenti non capiscano i concetti di calcolo,è che non hanno facilità con l’aritmetica e l’algebra.

Uno studente osservò una volta che un particolare problema comportava quella che chiamava “algebra intensa” – con la quale intendeva dire che doveva imparare molte delle sue conoscenze algebriche per eseguire i calcoli in un unico problema. Questo accade, per esempio, quando gli studenti hanno bisogno di trovare la derivata della funzione f(x) =1/(x+3) dalla definizione – cioè, come nella trasparenza, hanno bisognotrova il limite di un quoziente di differenza, come h va a zero. Pensa ai passi di cui hanno bisogno per prendererisolvere questo problema. Devono:

scrivere un’espressione corretta per f (x+h) data l’equazioneper f(x);

combinare due frazioni nel numeratore in una singola azione;

combinare una somma e una differenza di termini;

trasforma una frazione che ha una frazione nel numeratore in una che non lo fa;

trova un fattore comune del numeratore e del denominatore andcancel correttamente;

prendi un limite ed esprimi il risultato nella forma appropriata.

Non solo devono essere in grado di eseguire ciascuno di questi test individualmente, ma hanno anche bisogno di un sistema di monitoraggio ad alto livello funzionante che veda il “quadro generale” che è coinvolto nella ricerca del derivato e che dica loro cosa devono fare ad ogni passo.

Eppure molti di loro stanno ancora facendo errori che sono statipersistent sin dai gradi medi – ad esempio, annullando impropriamente le infrazioni dei termini.

Una domanda come questa è data sul midterm e sul finalexam, e sebbene tutti sappiano che questo è ciò che dovrebbero essere in grado di fare, molti di loro non sono in grado di completare correttamente l’attività.

Quando parliamo degli standard NCTM, spesso ci comportiamo come se gli standard di processo avessero sostituito gli standard di contenuto, che la comprensione ha sostituito la struttura. Questo non è il caso. Vogliamo concentrarci sul ragionamento e sulla risoluzione dei problemi, ma vogliamo anche che i nostri studenti abbiano la possibilità appropriata con le operazioni matematiche.

Quale struttura è “appropriata”? Dipende dallo studente. Coloro che stanno per finire per prendere severalsemesters di calcolo in collegio sicuramente sono in svantaggio se havedifficulty con aritmetica e algebra.

D’altra parte, coloro che difficilmente continueranno a calcolarenon avrà bisogno di un’algebra intensa. Butassuming che un particolare studente è in quella categoria può finire per essere aself-adempiendo profezia.

Una digressione sulle abilità algebriche. Molte persone hanno criticato il test di sostituzione di Rutgers sulla base del fatto che non è allineato con gli standard, con i nostri sforzi di riforma, poiché si concentra sulle competenze. Ma devo dirvi che è una buona misura della probabilità di successo nel precalcolo e nel calcolo, ed è stato così negli ultimi 20 anni da quando l’abbiamo introdotto. Misura la struttura degli studenti con le competenze necessarie because perché la struttura con i requisiti essenziali è essenziale per il successo in questi corsi.

Condividerò con voi la mia esperienza personale. Alcuni anni fa, una delle mie figlie ha segnatosolo sotto il cut-off per il precalcolo. Dato che ho un po ‘ di influenza, sono stato in grado di iscriverla inprecalcolo, ragionando che se aveva difficoltà, aveva accesso a un buon tutor. Era corretto but ma era anche un errore-ho finito per fare un sacco di tutoraggio. Non era pronta per il calcolo.

Questa è la fine della digressione.

Ora è necessario un chiarimento. Quando diciamo che la struttura in algebra è essenziale per il successo nel calcolo, non intendiamo solo regole di apprendimento per le manipolazioni geometriche. Struttura inalgebra significa anche comprendere la matematica che sta alla base di thoserules. Quando gli studenti fanno errori, theyare spesso un risultato di incomprensione la matematica, e noi tutti tospend di bisogno più tempo scoprendo le idee sbagliate che portarono a quegli errori, andhelping gli studenti li sostituiscono con mathematicalunderstandings più accurati. Ciò significa discussingerrors in classe e con gli studenti individualmente, e non solo marcatura themincorrect sui loro compiti a casa e test.

Facility in algebra significa anche essere in grado di attingere alla propria esperienza matematica per capire un passo successivo appropriato in aproblem – questo è ciò che ho indicato sopra come monitoraggio dei propri progressi-sapendo cosa fare dopo.

Che ci porta a “problemi di processo”.

Tutti noi abbiamo la tendenza a compartimentalizzare ciò che impariamo –in parte perché incontriamo nuove informazioni linearmente e dobbiamo memorizzarle da qualche parte. Ma è molto importantel’apprendimento essere collegato. Qualsiasi cosa possiamo fare come insegnanti per creare connessioni tra argomenti, per focalizzare gli studenti sul quadro generale, è molto importante.

Dare esempi e problemi di compiti a casa che collegano diversi concetti è importante, così come dare regolari esami cumulativi. Altrimenti, gli studenti imparano ciò di cui hanno bisognosapere per il quiz di questa settimana e poi dimenticarlo.

In alcune scuole, il successo degli studenti è ricompensato esentandoli dagli esami intermedi e finali. Credo che questa pratica sia un grave errore-gli studenti non hanno la possibilità di riunire i diversi pezzi di conoscenza che hanno acquisito. Inoltre, non li prepara per gli esami cumulativi che sono di routine al college. Lungo queste linee, un rapporto pubblicato tre settimane fa ha osservato che prendere AP calcolo al liceo non era un ofsuccess predittore al college, anche se segnando bene l’esame AP era.

Dobbiamo aiutare i nostri studenti a ottenere il quadro generale. Una parte di ciò coinvolgedecompartimentalizzare e integrare la conoscenza, come abbiamo discusso. Ma ci sono anche alcuni altri aspetti.

Si sta incoraggiando gli studenti ad avere molteplici prospettive. Ad esempio,dovrebbero avere familiarità con diversi aspetti dell’idea di una funzione – come equazione, di regola, come grafico, come tabella, come macchina di input-output – ed essere in grado di spostarsi avanti e indietro facilmente tra queste rappresentazioni.

Allo stesso modo, dovrebbero essere in grado di spostarsi avanti e indietro tra algebra e geometria. Whendiscussing la soluzione di equazioni lineari simultanee, loro dovrebbero recognizethat quello è lo stesso come chiedere dove due linee incrociano. Quando si dà una funzione quadratica theyshould essere in grado di visualizzare la parabola che definisce – forse non tutti i dettagli, ma dovrebbero certamente essere consapevoli del fatto che definisce una parabola e sapere se si apre verso l’alto o verso il basso. Non solo dovrebbero essere in grado di visualizzare una parabola, shouldactually farlo. L’equazione e il grafico dovrebbero essere due viste dello stesso oggetto.

E quando trovi le soluzioni di un’equazione quadratica,dovrebbero essere in grado di tradurla con facilità al grafico della funzione quadratica – in modo che se le radici di una funzione quadratica sono, per esempio, 3 +/- sqrt2, dovrebbero essere in grado di immaginare dove il grafico della funzione attraversa l’asse x.

Il primo giorno di lezione, offro agli studenti un piccolo pezzo di carta – 1/8 di un foglio 8, 5×11 e chiedo loro di trovare la tangente dell’angoloil cui seno è 3/5. Alcuni degli studentidisegnare un triangolo; quasi tutti themthen ottenere la risposta giusta. Alcuni degli studenti non disegnano un triangolo; nessuno di loro ottiene la risposta giusta.

Dal momento che non chiedo loro di mettere i loro nomi sui giornali, non posso mettere in relazione le soluzioni a questo problema con i loro voti nel corso, ma la mia opinione è che ci sarebbe un alto grado di correlazione. Gli studenti che possono visualizzare l’algebra, che canmove facilmente dall’algebra alla geometria e viceversa, sono suscettibili di avere successo incalcolo.

Nella seconda classe, riporto agli studenti i risultati di questo esperimento e ribadisco l’importanza della visualizzazione. Li incoraggio ad accendere il loro interruttore di visualizzazione in modo che disegnino un’immagine nella loro mente di ogni espressione ebraica che è nel loro libro o sulla lavagna.

Faccio notare che un’immagine può contenere molte informazioni. Ad esempio, se possono visualizzare e interpretare i grafici delle funzioni seno , coseno e tangente, devono solo ricordare tre fatti: sin 30=½, tan 45 =1 e thatsin2x + cos2x =1 . Quasi tutto il resto che hanno bisogno di sapere sulla trigonometria può essere derivatoda questi. In particolare, non hanno bisogno di memorizzare un sacco di fatti. Questo è quello che dovranno fare se non capiscono le immagini. Alcuni trovano questo difficile da credere, e persistin cercando di ricordare un sacco di fatti sulle funzioni trigonometriche. Non c’è da meravigliarsi se a volte lo sentonole loro teste sono piene.

Ci sono circa una dozzina di immagini che incapsulano molto il calcolo del primo semestre – se capisci e puoi spiegare cosa c’è in quelle immagini, allora farai molto bene nel calcolo. Trovano questo difficile da credere pure.

Un altro problema che menzionerò brevemente è che gli studenti devono avere un senso migliore se una risposta che generano è ragionevole. Un prerequisito di ciò, naturalmente, è che essi si chiedano effettivamente se le loro risposte sono ragionevoli. In realtà, se si chiedono la domanda, è probabile che rispondano in modo appropriato. Quindi l’obiettivo è quello di farli chiedere thatquestion – è che la risposta ragionevole?

Infine, gli studenti devono avere il senso della matematica asa lingua. La matematica ha parole esimboli e regole sul loro uso. Spesso ignoriamo la grammatica della matematica e permettiamo ai nostri studenti di parlare e scrivere la matematica in modo errato – una pratica che non sarebbe consentita in una classe spagnola. Quindi finiscono per non usareparentesi quando dovrebbero e fare tutti i tipi di errori come risultato. Non usano il segno di uguale per separareespressioni uguali nelle loro frasi matematiche e, di conseguenza, quantieswander da un’espressione e in un’altra. E spesso non sono in grado di tradurre le loro risposte ai problemi dalinguaggio matematico nella lingua inglese. Questo problema richiede più attenzione da tuttidi noi.

E ora veniamo a quelli che ho chiamato problemi personali. Farò quattro osservazioni. Uno è che molti studenti vengono a firstsemester calculus pensando che conoscono già il calcolo. Questo può essere vero-ma è vero solo peralcuni di loro. Tuttavia, questa è un’ipotesi pericolosa, per coloro che credonoquesto non farà nulla per le prime quattro settimane del semestre then e poitrovare che è troppo tardi per recuperare.

Si prega di avvisare i vostri studenti che, anche se essi possono besuccessful nel corso, essi non saranno automaticamente successo in un corso con lo stesso titolo al college. Anche se entrambi i corsi coprono lo stesso materiale, il corso di college goesinto più profondità.

Un secondo punto è che gli studenti hanno bisogno di sapere che essi willhave a lavorare al college. Alcuni di themwill saranno capaci di cavarsela senza troppo lavoro – nel qual caso loro dovrebbero havebeen prendendo un corso più difficile – ma la maggior parte di loro avranno il loro handsfull con il corso che loro prendono – se è calcolo o precalculus oreven algebra-se o non loro ottennero un buon voto in quel corso in highschool.

Ho imparato che il miglior predittore di un buon grado inCalc 1 sta ottenendo un buon voto al primo esame. Guarda i dati nel grafico. Essa mostra che l ‘ 86% degli studenti che scored70 % al primo esame ha ottenuto un grado di C+ o meglio per il corso. D’altra parte, solo il 17% di coloro che hanno valutato meno del 70% al primo esame ha ottenuto un voto di C+ o migliore per il corso. Il lavoro coerente paga. Coloro che iniziano bene e lavoranofare bene in modo coerente.

Studenti nel mio Calcolo 1 classi

Autunno 1999, Autunno 2000, Autunno 2001, Autunno 2002

# di studenti	70% o più al primo esame	69 o meno al primo esame	Totale
Voto Finale: C+ o superiore.	74	21	105
voto Finale: C o inferiore	12	102	114
	86	123	219

86% ofthose che ha ottenuto il 70% o meglio il primo test ha un C+ o superiore in corso;17% di quelli che hanno ottenuto 69% o peggio sul primo test ha ottenuto un C+ o meglio nel corso

Un’altra cosa che faccio il primo giorno di lezione è chiedere a ogni studente di fare una valutazione realistica di quale voto si aspetta di ottenere nel corso-prendendo in considerazione ogni sorta di cose – e consegnarlo su un altro piccolo foglietto di carta. Ogni studente, senza eccezioni, si aspetta di ottenere una B o meglio!

Lo riporto agli studenti della seconda classe e thenshow loro questo grafico. Dico loro che non possono iniziare il semestre pensando che perché conoscono le formule per alcuni derivati conoscono il calcolo. Dico loro che hanno bisogno di iniziare il semestre di lavoro oncalculus. Forse rende adifferenza. Dico loro che farò tutto ciò che posso per aiutare ognuno a ottenere il grado che lui o lei spera di ottenere – ma alla fine spetta a loro.

Questo è il terzo punto che voglio fare – gli studenti hanno bisogno di imparareper assumersi la responsabilità per la propria educazione. Al liceo si vede themevery giorno e li può convincere a prendere sul serio i loro studi. E ‘ fantastico. Ma quando arrivano al college, sono da soli, e se haven’tyet imparato ad assumersi la responsabilità per la loro educazione, avranno un toughtime.

Non sono sicuro di come convincerli ad assumersi la responsabilità, butthere è un esperimento modesto che potresti provare. Dì loro che non raccoglierai incarichi per i prossimi duesettimane. Quindi dai loro un esame sulmateriale. Alcuni di loro non farà le assegnazioni e farà male sulexam. Forse la loro prestazione su thatexam trasmetterà a loro che il Suo non raccogliendo i compiti a casa non dovrebbe havebeen interpretato come loro non avendo bisogno di farlo.

Un altro aspetto dell’assunzione di responsabilità per la propria istruzione è chiedere aiuto e sfruttare le opportunità a loro disposizione. Meno del 20% dei mystudents viene mai a trovarmi, anche se li incoraggio regolarmente a doso. Meno di 20% dei miei studenti everemail me con le loro domande, anche se dico loro che sarà più likelyget una risposta entro poche ore. Anche se un terzo dei miei studenti finirà con un D o F, pochi di themwill cercare i vari tipi di aiuto che sono a loro disposizione.

La maggior parte degli studenti non hanno ancora imparato che è ok per loro toseek assistenza – non hanno imparato che se stanno avendo difficoltà ina corso, dovrebbero cercare aiuto il più presto possibile. Hanno bisogno di sapere che aspettare non è un buonostrategia. Forse il tuo dire che a loro farà la differenza.

Questo mi porta alla fine delle mie osservazioni. Ho parlato un po ‘ dei problemi di contenuto, dei problemi di processo e dei problemi personali che interferiscono con il successo degli studenti nei corsi di precalcolo e calcolo, e ti ho dato qualche suggerimento su come potresti aiutare a preparare gli studenti a superare gli ostacoli al loro successo.

La ringrazio molto per la vostra attenzione, e ora avremo una discussione su questi problemi.