Funkce Dilations: Jak rozpoznat a analyzovat je

Tento příspěvek byl napsán v roce 2010. Pro můj současný přístup k tomuto tématu, které používá transformace rovnic, prosím následujte tento odkaz: Funkce Transformace: Dilatace

Tento příspěvek zkoumá jeden typ funkce transformace: „dilatace“. Pokud nejste obeznámeni s „překladem“, což je jednodušší typ transformace, možná budete chtít číst překlady funkcí: jak je nejprve rozpoznat a analyzovat.

funkce byla „otevřená“ (poznámka k pravopisu… není to píše nebo vyslovuje „dialated“), když to má být natažené od osy nebo stlačený směrem k ose.

Představte si graf, který byl nakreslen na elastickém milimetrovém papíru a připevněn k pevnému povrchu podél jedné z OS. Nyní uchopte pružný papír oběma rukama, jednou rukou na každé straně osy, která je připevněna k povrchu, a vytáhněte obě strany papíru směrem od osy. Přitom“ rozšiřuje “ graf, což způsobí, že se všechny body vzdálí od osy na násobek jejich původní vzdálenosti od osy. Jako příklad, zvažte následující graf:

graf výše ukazuje funkce před a po vertikální dilatace. Souřadnice dvou bodů na pevnou linku jsou zobrazeny, jako jsou souřadnice dva odpovídající body na čárkované linii, aby vám pomohou ověřit, že přerušovaná čára je přesně dvakrát tak daleko od osy x jako stejné barvy bodu na pevnou linku.

počátek je bod sdílený oběma řádky a je užitečné poznamenat, že přerušovaná čára je stále „dvakrát tak daleko od osy x“ na počátku, protože . Jakýkoliv bod, který splňuje definici funkce a leží na ose x nepohybuje, když je funkce rozšířené vertikálně.

existují dva způsoby, jak můžeme popsat vztah mezi dvěma funkcemi grafickými výše. Buď:

• pevná linka byla „otevřená svisle o faktor 2“ vyrábět přerušovaná čára, nebo
• přerušovaná čára byla „otevřená svisle o faktor 0.5 “ pro výrobu pevné linky.

obě příkazy popisují graf přesně. Obecně však bude definice funkce, která je nejjednodušší (algebraicky), považována za“ nadřazenou “ funkci, přičemž složitější definice je popsána jako dilatace jednodušší funkce.

například,

(v grafu jako přerušovaná křivka níže), je snadnější, aby se analyzovat, jestli to vnímáte jako vztahující se k jednodušší „mateřské“ funkce:

(v grafu jako plná čára níže), která byla oba rozšířené, a přeložena:

f(x) byla otevřená svisle o faktor 3, pak přeložen vertikálně o +5 a horizontálně o +1 k produkci g(x).

modrý bod na počátku, který je vrcholem pevné paraboly, měl svou souřadnici y (0) vynásobenou třemi, pak k ní bylo přidáno pět:

(0) x 3 + 5 = 5

poté byla posunuta o jednu jednotku doprava, což způsobilo změnu její souřadnice x z 0 na 1. Takže“ Nadřazený “ vrchol, který byl na počátku, je umístěn v (1, 5) v transformované funkci.

zelený bod na pevné paraboly (2, 4), také měl jeho y-ová souřadnice (4) se vynásobí třemi a měl pět přidáno do:

4 x 3 + 5 = 17

To bylo pak přesunula jedné jednotky na pravé straně, stejně jako vrchol bylo, a že bod (3 ,17) splňuje rovnici přerušované parabola, g(x).

vizualizace funkcí jako překladů a dilatací jednodušší „rodičovské funkce“ může složitě vypadající rovnice mnohem snáze interpretovat.

Všimněte si, že negativní dilatační faktor způsobuje dilataci i odraz kolem osy. Všechny body, které byly na jedné straně osy dilatace, se odrážejí na druhou stranu osy negativním dilatačním faktorem.

Vertikální Dilatace

Zvažte plná parabola níže, který představuje funkce:

Pokud je přeložen vertikálně o +4, tak, že jeho vrchol se pohybuje od (0,0) (0,4), rovnice bude:

což je naznačeno čárkovanou parabola níže. Co se stane s grafem přerušované paraboly f (x), pokud je každý člen v její rovnici vynásoben třemi? Výsledek tohoto násobení označíme jako g (x):

Všimněte si, že můžeme snadno napsat tuto druhou funkci, pokud jde o první:

definováním g(x) tímto způsobem, jsme se výslovně uvádí, že každý y-ová souřadnice produkován g(x) bude třikrát odpovídající y-souřadnici f(x). Jinými slovy, g (x) je F(x) vertikálně rozšířen o faktor tři.

Každý bod na grafu funkce g(x) níže (horní, tečkované, parabola) je třikrát dál od osy x než odpovídající bod na f(x):

tento proces funguje pro jakoukoli funkci.

kdykoli je výsledek nadřazené funkce vynásoben hodnotou, nadřazená funkce je vertikálně rozšířena. Pokud je F(x) nadřazenou funkcí, pak

rozšiřuje F (x) svisle o faktor „a“.

použijme tuto myšlenku na trigonometrickou funkci:

na Základě vysvětlení v předchozím odstavci, můžeme konstatovat, že

představuje vertikální dilatace od -5

Pokud aplikujeme tento přístup na jiný typ funkce

můžete vidět, že můžeme analyzovat stejným způsobem:

rozšířené vertikálně koeficientem k se stává:

, které Uplatňují tento přístup k ještě složitější situaci:

mateřské funkce v tomto případě je

Všimněte si, že každý instance z „x“ f(x) (x-1) nahradit to, což v překladu znamená f(x) horizontálně o +1. Pak tento výsledek byl vynásoben 3, což způsobuje vertikální roztažení o faktor 3:

původní vertikální překlad a y +1 ( konstanta v definici f(x) ) je také ovlivněna vertikální dilatace, a stává +3 g(x)… tři krát vzdálenost od osy x, že to bylo původně.

Jeden poslední příklad:

mateřské funkce

byla otevřená svisle koeficientem +2, přeloženo horizontálně o +7, a poté přeložen vertikálně o +3 (po rozšířené vertikálně), k výrobě g(x):

Horizontální Dilatace

vraťme se ke grafu:

Co se stane s grafem, když rovnice se změní vynásobením každé „x“ do rovnice o třech:

opět, můžeme popsat, g(x), více kompaktně pokud tak učiníme pomocí f(x), nicméně tentokrát dilatace faktor se násobí funkci „vstupní proměnné“ místo jeho „výsledek“ (jako tomu bylo vyrobit vertikální dilatace):

Všimněte si, že f(x) prochází bodem (3,13). Protože přemýšlíme o horizontálních dilatacích, zeptejme se „jakou hodnotu musí mít „x“, pokud má g (x)produkovat stejný výstup 13?“

Od (3,13) přesunuta na (1,13), vynásobením každé „x“ f(x) o 3 má stlačený grafu vodorovně, s každý bod byl přesunut na jednu třetinu své předchozí vzdálenosti od osy y.

pokud násobení výsledku funkce faktorem způsobí vertikální dilataci stejným faktorem, proč násobení vstupní proměnné faktorem způsobí horizontální dilataci reciproční tohoto faktoru? Chcete-li položit otázku jiným způsobem, pokud pomocí koeficientu většího než jeden rozšiřuje věci svisle, proč to zmenšuje věci vodorovně? Tento rozdíl ve skutečnosti se na první pohled zdá být neintuitivní. Rozdílu dochází, protože vertikální dilations nastat, když jsme rozsahu výstupní funkce, vzhledem k tomu, že horizontální dilations nastat, když jsme rozsahu vstupní funkce.

„x“ v původním f(x) se stalo „3x“ v g(x), takže g(x) dosáhne dané „vstupní hodnoty“ třikrát rychleji než f(x). „x“ musí být pouze 1/3 tak velká v g (x), aby výsledek rovnice byl stejný jako f (x). Proto byly všechny body na g(x) upraveny na 1/3 vzdálenosti od svislé osy, kterou byly ve f (x).

tento proces funguje pro jakoukoli funkci. Kdykoli je vstup „nadřazené funkce“ vynásoben hodnotou, nadřazená funkce je horizontálně rozšířena. Pokud je

nadřazenou funkcí, pak

představuje horizontální dilataci nadřazené funkce faktorem „1 / a“.

aplikujte tuto myšlenku na poněkud složitější situaci:

představuje horizontální roztažení o faktor 1/5 (směrem k svislé ose)

jinými slovy, období f(x), a období, g(x)

Horizontální dilations z kvadratické funkce podívat trochu složitější na první, dokud jste si zvykli na vzor, který hledáte:

představuje horizontální roztažení o faktor 2 (od svislé osy)

Všimněte si, že každý instance z „x“ v nadřazené funkci, musí být změněn,

pro nové rovnice představují horizontální dilatace mateřské koeficientem 2.

použití tohoto přístupu na zlomkovou situaci:

takže

představuje horizontální dilataci o faktor 1 / k

jaký je rozdíl?

uvažuje V obou vertikální a horizontální dilations, možná jste si uvědomil, že grafy některých funkcí, jako jsou

by mohlo být považováno buď vertikální roztažení o faktor 4 nebo horizontální dilatace faktorem 1/2. Je zajímavé, že oba dilations, táhnoucí se svisle nebo mačkání vodorovně, mají stejný konečný výsledek pro tuto funkci. Může to platit i pro jiné funkce? Zvažte následující ekvivalentní rovnice:

tento příklad ukazuje, že některé funkce mohou být transformovány na stejný konečný výsledek buď horizontální dilatací, vertikální dilatací nebo kombinací obou. V příkladu výše, následující tři sady dilations a překlady mateřské funkce produkovat stejné graf:
1) Rozšířené vodorovně faktorem 1/6, pak přeloženy horizontálně o +2. Žádná vertikální dilatace.
2) horizontálně rozšířeno o faktor 1/3, poté přeloženo vodorovně o + 2. Vertikálně rozšířeno o faktor 4.
3) žádná horizontální dilatace, přeložená vodorovně o + 2. Vertikálně rozšířeno o faktor 36.

Všimněte si, jak se horizontální překlady mění s horizontální dilatací. Protože horizontální dilatace zmenší celý graf směrem ke svislé ose, horizontální překlad grafu se zmenší o stejný faktor. Jako původní horizontální dilatace faktor 1/6 v příkladu výše se zvyšuje o faktor 6 1 (stává převeden do svislé dilatace faktor 36 v procesu), původní horizontální překlad 12 zmenší faktorem 6, aby se stal 2.

která ze všech výše uvedených možností je tedy „normální“ způsob popisu tohoto grafu? S preferovaný způsob popisu to bude dělat to více pravděpodobné, že různí lidé budou popsat graf stejným způsobem…

„normální“ způsob, jak popsat kombinaci dilations a překlady je převést všechny dilations do vertikální dilations manipulací projevu tak, že nezávislá proměnná má koeficient jedna:

Takže tato rovnice představuje vertikální roztažení o faktor 36 a horizontální překlad z +2 z rovnice

Pokud jste nebyli zájem o vertikální rozšíření, ale pouze v horizontální překlad, můžete řešit nezávisle proměnná, výraz (před použitím jakékoli exponent) pro zero:

což nám říká, že „mateřské funkce“ byl přeložen horizontálně o +2 po všech dilations byly provedeny.

Dilatace O Čáry Od Osy

V některých situacích to bude užitečné rozšířit funkce ve vztahu k horizontální nebo vertikální linie je jiná než osa. K dosažení tohoto cíle, musíme:

1. Přeložit grafu tak, že část grafu, která má zůstat beze změny tím, že dilatace je přesunuta do osy
2. Dilataci graf touha množství
3. Přeložit rozšířené funkce zpět na své původní místo

Předpokládejme, že chceme rozšířit funkce f(x) vertikálně o faktor 3, o přímce y=2. Výše uvedené kroky produkovat následující pro funkce f(x):

Přeložit f(x) 2, tak, že linie, o které chceme rozšířit je přesunuta na x-ose:

Rozšíří přeložené funkce vertikálně o faktor 3:

„vrátit zpět“ do původní vertikální překlad, překládat jej zpět nahoru 2:

Pokud se vám graf f(x) a g(x) na stejném grafu, jak je uvedeno výše, všimněte si, že oba grafy protínají navzájem na přímce y=2, což je směr, o kterém jsme se rozšířené f(x). To jsou jediné dva body na grafu f (x), které zůstávají nezměněny dilatací.

stejný postup lze použít k vytvoření vodorovných dilatací o nějaké svislé čáře: přeložit funkci vodorovně, poté ji rozšířit a výsledek přeložit zpět na místo, kde začala.

chcete hrát?

pokud si chcete pohrát s vertikálními dilatacemi a zjistit, jak fungují, zkuste některý z následujících appletů Geogebra. Jediný, který vám umožní hrát s horizontálními dilatacemi, je poslední (sinusová funkce):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function