関数の拡張:それらを認識して分析する方法

この記事は2010年に書かれました。 変換方程式を使用するこのトピックへの私の現在のアプローチについては、このリンクに従ってください：Function Transformations:Dilation

この投稿では、関数変換の1つのタ より単純なタイプの変換である「翻訳」に精通していない場合は、関数翻訳を読むことをお勧めします：最初にそれらを認識して分析する方法。

関数が軸から引き伸ばされたり、軸に向かって圧縮されたりしたときに、関数が”拡張”されました（スペルに注意してください…”dialated”と発音されたり、綴られたりしません）。

弾性グラフ紙に描かれ、軸のいずれかに沿って固体表面に固定されたグラフを想像してみてください。 今度は、表面に固定されている軸の両側に片手で弾性紙をつかみ、紙の両側を軸から引き離します。 これにより、グラフが「拡張」され、すべてのポイントが軸から元の距離の倍数に移動します。 この例として、次のグラフを考えてみましょう:

上のグラフは、垂直方向の拡張の前後の関数を示しています。 実線上の2つの点の座標と、破線上の2つの対応する点の座標が表示され、破線が実線上の同じ色の点とx軸から正確に2倍離れていることを確認で

原点は両方の線で共有される点であり、破線は原点で”x軸から2倍離れている”ことに注意すると便利です。 関数定義を満たし、x軸上にある点は、関数が垂直に拡張されても移動しません。

上でグラフ化した2つの関数間の関係を記述する方法は2つあります。 どちらか:

• 実線は破線を生成するために「垂直に2倍に拡張」されているか、または
• 破線は「垂直に0倍に拡張」されています。実線を作り出す5″。

どちらの文もグラフを正確に記述しています。 しかし、一般に、（代数的に）最も単純な関数定義は「親」関数とみなされ、より複雑に見える定義はより単純な関数の拡張として記述されます。たとえば、

（下の破線の曲線としてグラフ化）は、単純な「親」関数に関連していると認識すると、分析が容易になります：

（下の実線の曲線としてグラフ化）:

f(x)は垂直方向に3倍に拡張され、垂直方向に+5、水平方向に+1で平行移動されてg(x)が生成されます。

実線放物線の頂点である原点の青い点は、y座標(0)に3を掛け、それに5を加えたものです:

(0) x3 + 5 = 5

その後、1つの単位を右にシフトし、x座標を0から1に変更しました。 したがって、原点にあった「親」頂点は、変換された関数の（1、5）に位置します。

実線放物線上の緑の点(2,4)もy座標(4)に3を掛け、それに5を加えました：

4×3 + 5 = 17

その後、頂点と同じように右に1単位シフトされ、その点（3、17）は破線放物線g（x）の方程式を満たします。

関数を単純な”親関数”の平行移動と拡張として視覚化すると、複雑に見える方程式の解釈がはるかに簡単になります。

負の膨張係数を指定すると、軸の膨張と反射の両方が発生することに注意してください。 拡張軸の一方の側にあったすべての点は、負の拡張係数によって軸の他方の側に反映されます。

Vertical Dilation

関数を表す下の実線放物線を考えてみましょう。

垂直方向に+4で平行移動し、頂点が(0,0)から(0,4)に移動すると、方程式は

下の破線放物線でグラフ化されます。 方程式のすべての項に3を掛けた場合、破線の放物線f（x）のグラフはどうなりますか？ この乗算の結果をg（x）と呼びます。:

このようにg(x)を定義することにより、g(x)によって生成されるすべてのy座標は、f(x)上の対応するy座標の三倍になることを明示的に述べてい 換言すれば、g(x)はf(x)が垂直に3倍に拡張されていることになります。

g(x)のグラフ上のすべての点（上、点線、放物線）は、f(x)上の対応する点よりもx軸から三倍離れています):

このプロセスはどの関数でも機能します。

親関数の結果に値が乗算されると、親関数は垂直方向に拡張されます。 F(x)が親関数である場合、

はf(x)を”a”の因数だけ垂直に拡張します。

この考えを三角関数に適用しましょう:

前の段落の説明に基づいて、

は

の-5による垂直方向の拡張を表していると結論づけることができます。

このアプローチを別の型関数

に適用すると、同じ方法で分析できることがわかります。

kの係数で垂直方向に拡張された

このアプローチを適用すると、

このアプローチを適用すると、

複雑な状況：

この場合の親関数は

f（x）の”x”のすべてのインスタンスには、f（x）を水平に+1で変換する（x-1）が代入されていることに注意してくださ

元の垂直並進と+1（f(x)の定義における定数項）のy切片も垂直拡張の影響を受け、g(x)では+3になります…元のx軸からの距離の3倍。

最後の例：

親関数

は、垂直方向に+2倍に拡張され、水平方向に+7倍に変換され、次に垂直方向に+3倍に変換されて（垂直方向に拡張された後）、g(x)が生成されま:

Horizontal Dilation

次のグラフに戻りましょう。

方程式のすべての”x”に三つを掛けて方程式を変更した場合、このグラフはどうなりますか。

もう一度、f(x)を使ってg(x)をよりコンパクトに記述することができますが、今回は拡張係数に”結果”ではなく関数の”入力変数”が乗算されます。垂直膨張を生成するために行われたように）：

F（X）は点（3,13）を通過することに注意してください。 水平方向の拡張について考えているので、「g（x）がこの同じ出力13を生成する場合、’x’にはどのような値が必要ですか？”

(3,13)が(1,13)に移動したため、f(x)内のすべての”x”に3を掛けるとグラフが水平に圧縮され、各点はy軸からの前の距離の三分の一に移動されます。

関数の結果に因子を乗算すると、同じ因子による垂直方向の膨張が発生する場合、入力変数に因子を乗算すると、その因子の逆数による水平方向の膨張が発生するのはなぜですか？ 別の方法で質問すると、1より大きい係数を使用すると垂直方向に拡張されるのですが、なぜ水平方向に縮小されるのですか？ この効果の違いは、一見すると直感的ではないようです。 この違いは、関数の出力をスケールするときに垂直方向の拡張が発生するのに対し、関数の入力をスケールするときに水平方向の拡張が発生するため

元のf(x)の”x”はg(x)の”3x”になったので、g(x)はf(x)よりも3倍速く与えられた”入力値”に達する。 “x”は、方程式の結果がf（x）と同じになるためには、g（x）の1/3でなければなりません。 したがって、g(x)上のすべての点は、f(x)にあった垂直軸からの距離の1/3にスケーリングされています。

このプロセスは、任意の関数に対して機能します。 「親関数」の入力に値が乗算されると、親関数は水平方向に拡張されます。

が親関数である場合、

は親関数の水平方向の拡張を”1/a”の係数で表します。

もう少し複雑な状況にこのアイデアを適用する:

だから

は

の1/5倍（垂直軸に向かって）の水平膨張を表します言い換えれば、f(x)の周期は

二次関数の水平膨張は、最初は少し複雑に見えます。:

だから

は、親関数内の”x”のすべてのインスタンスが

に変更されなければならないことに注意してください2の係数による親の水平膨張を表

このアプローチを分数の状況に適用する：

だから

は

の1/kの係数による水平方向の拡張を表します違いは何ですか？

垂直方向と水平方向の両方の拡張を考えてみると、

のようないくつかの関数のグラフは、4倍の垂直方向の拡張または1/2倍の水平方向の拡張のいず 興味深いことに、両方の拡張、垂直方向の伸張、または水平方向の圧縮は、この機能に対して同じ最終結果を有することに注意することができる。 これは他の機能にも当てはまりますか？ 次の等価な方程式を考えてみましょう:

この例では、一部の関数が水平方向の拡張、垂直方向の拡張、またはその両方の組み合わせによって同じ最終結果に変換できることを示しています。 上の例では、親関数の次の3組の拡張と平行移動は同じグラフを生成します。
1)水平方向に1/6の係数で拡張し、水平方向に+2で平行移動します。 縦の膨張無し。
2)水平方向に1/3倍に拡張し、水平方向に+2倍に変換します。 垂直方向に4倍に拡張されています。
3)水平方向の拡張はなく、水平方向に+2で翻訳されています。 垂直方向に36倍に拡張されています。

水平方向の拡張が変化するにつれて、水平方向の平行移動がどのように変化するかに注意してください。 水平方向の拡張はグラフ全体を垂直軸に向かって縮小するため、グラフの水平方向の平行移動は同じ係数だけ縮小します。 上記の例では、元の水平方向の拡張係数1/6が6倍に増加して1になり(プロセスでは垂直方向の拡張係数36に変換されます)、12の元の水平方向の並

では、上記のすべてのオプションのうち、このグラフを記述する”通常の”方法はどれですか？ それを記述する好ましい方法を持つことは、異なる人々が同じ方法でグラフを記述する可能性が高くなります…

拡張と平行移動の組み合わせを記述する”通常の”方法は、独立変数が一つの係数を持つように式を操作することによって、すべての拡張を垂直拡張に変換することです。:

だから、この方程式は36倍の垂直膨張と方程式の+2の水平平行移動を表します

垂直方向の膨張に興味がなく、水平平行移動のみであれば、独立変数式を（指数を適用する前に）ゼロに対して解くことができます。

これは、”親関数”がすべての膨張が実行された後に+2によって水平に平行移動されたことを示しています。

軸から離れた線についての拡張

状況によっては、軸以外の水平線または垂直線に対して関数を拡張すると便利です。 これを達成するには、次のことが必要です:

1. 拡張によって変更されないグラフの部分が軸に移動されるようにグラフを変換する
2. 欲求量だけグラフを拡張する
3. 拡張された関数を元の位置に戻す

関数f(x)をy=2の線について3倍垂直に拡張したいとします。 上記の手順では、関数f(x)について次のようになります。

Translate f(x)down2、拡張したい行がx軸上に移動するようにします。

translate関数を3倍に垂直に拡張します。

元の垂直2:

上記のように、同じグラフ上でf（x）とg（x）の両方をグラフ化すると、2つのグラフが線y=2で互いに交差していることに注意してください。f（x）を拡 これらは、拡張によって変化しないf（x）のグラフ上の唯一の2つの点です。

これと同じプロセスを実行して、垂直線を中心に水平方向の拡張を作成することができます：関数を水平に変換してから拡張し、結果を開始した場所

垂直方向の拡張を使って遊んで、それらがどのように機能するかを見たい場合は、以下のGeogebraアプレットのいずれかを試してください。 水平方向の膨張で遊ぶことができる唯一のものは最後のものです（正弦関数）:
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function