Functieverwijderingen: hoe ze te herkennen en te analyseren

dit bericht is geschreven in 2010. Voor mijn huidige benadering van dit onderwerp, dat transformatievergelijkingen gebruikt, volg deze link: Functietransformaties: dilatatie

dit bericht verkent een type functietransformatie: “dilatatie”. Als u niet bekend bent met “vertaling”, wat een eenvoudiger type transformatie is, Wilt u misschien Functievertalingen lezen: hoe u ze eerst herkent en analyseert.

een functie is ” verwijd “(let op de spelling… het wordt niet gespeld of uitgesproken als” dialated”) wanneer deze van een as is uitgerekt of naar een as is gecomprimeerd.

stel je een grafiek voor die op elastisch grafiekpapier is getekend en langs een van de assen aan een vast oppervlak is bevestigd. Pak nu het elastische papier met beide handen, één hand aan elke kant van de as die aan het oppervlak is bevestigd, en trek beide zijden van het papier weg van de as. Door dit te doen” verwijdt ” de grafiek, waardoor alle punten om weg te bewegen van de as naar een veelvoud van hun oorspronkelijke afstand van de as. Als voorbeeld hiervan, overweeg de volgende grafiek:

de grafiek hierboven toont een functie voor en na een verticale dilatatie. De coördinaten van twee punten op de vaste lijn worden getoond, evenals de coördinaten van de twee overeenkomstige punten op de gestreepte lijn, om u te helpen controleren of de gestreepte lijn precies twee keer zo ver van de x-as ligt als hetzelfde kleurpunt op de vaste lijn.

de oorsprong is een punt dat door beide lijnen wordt gedeeld, en het is nuttig om op te merken dat de gestippelde lijn nog steeds “twee keer zo ver van de x-as” ligt aan de oorsprong, omdat . Elk punt dat aan een functiedefinitie voldoet en op de x-as ligt, zal niet bewegen wanneer de functie verticaal wordt verwijd.

er zijn twee manieren waarop we de relatie tussen de twee functies hierboven kunnen beschrijven. Hetzij:

• de vaste lijn is ” verticaal verwijd met een factor 2 “om de stippellijn te produceren, of
• de stippellijn is” verticaal verwijd met een factor 0.5″ om de vaste lijn te produceren.

beide verklaringen beschrijven de grafiek nauwkeurig. Echter, in het algemeen zal de functiedefinitie die het eenvoudigste is (in algebraïsche termen) worden beschouwd als de “ouder” functie, waarbij de complexere definitie wordt beschreven als een verwijding van de eenvoudiger functie.

bijvoorbeeld,

(weergegeven als de gestippelde curve hieronder), is gemakkelijker te analyseren als u het ervaart als gerelateerd aan een eenvoudiger “ouder” functie:

(weergegeven als de vaste curve hieronder) die zowel verwijd Als vertaald is:

f (x) is verticaal verwijd met een factor 3, vervolgens verticaal vertaald met +5 en horizontaal met +1 om g(x) te produceren.

het blauwe punt aan de oorsprong, dat de top van de vaste parabool is, had zijn Y-coördinaat (0) vermenigvuldigd met drie en had er vijf aan toegevoegd:

(0) x 3 + 5 = 5

het werd vervolgens een eenheid naar rechts verschoven, waardoor de x-coördinaat veranderde van 0 naar 1. Dus, de” ouder ” vertex die aan de oorsprong is gelegen op (1, 5) in de getransformeerde functie.

het groene punt op de vaste parabool (2, 4) had ook de Y-coördinaat (4) vermenigvuldigd met drie en had er vijf aan toegevoegd:

4 x 3 + 5 = 17

het werd vervolgens een eenheid naar rechts verschoven, net als de vertex, en dat punt (3, 17) voldoet aan de vergelijking van de gestippelde parabool, g(x).

het visualiseren van functies als vertalingen en verwijderingen van een eenvoudiger “ouderfunctie” kan complex ogende vergelijkingen veel gemakkelijker maken om te interpreteren.

merk op dat een negatieve dilatatiefactor zowel een dilatatie als een reflectie over de as veroorzaakt. Alle punten die zich aan de ene kant van de verwijderingsas bevonden, worden door een negatieve verwijderingsfactor naar de andere kant van de as gereflecteerd.

verticale dilatatie

neem de vaste parabool hieronder, die de functie vertegenwoordigt:

als deze verticaal wordt vertaald door +4, zodat de top van de parabool beweegt van (0,0) naar (0,4), wordt de vergelijking:

die wordt weergegeven door de gestippelde parabool hieronder. Wat gebeurt er met de grafiek van de gestreepte parabool f (x) als elke term in de vergelijking wordt vermenigvuldigd met drie? We zullen naar het resultaat van deze vermenigvuldiging verwijzen als g (x):

merk op dat we deze tweede functie gemakkelijk kunnen schrijven in termen van de eerste:

door g(x) op deze manier te definiëren, stellen we expliciet dat elke y-coördinaat geproduceerd door g(x) driemaal de corresponderende y-coördinaat op f(x) zal zijn. Met andere woorden, g(x) is f(x) verticaal verwijd met een factor drie.

elk punt van de grafiek van g(x) hieronder (de bovenste, gestippelde, parabool) is drie keer verder van de x-as verwijderd dan het overeenkomstige punt op f (x)):

dit proces werkt voor elke functie.

telkens wanneer het resultaat van een ouderfunctie met een waarde wordt vermenigvuldigd, wordt de ouderfunctie verticaal verwijd. Als f (x) de ouderfunctie is, verwijdt

f(x) verticaal met een factor “a”.

laten we dit idee toepassen op een trigonometrische functie:

op basis van de uitleg in de vorige paragraaf kunnen we concluderen dat

een verticale dilatatie met -5 van

vertegenwoordigt.als we deze benadering toepassen op een andere typefunctie

dan kun je zien dat we deze op dezelfde manier kunnen analyseren:

verticaal gedilateerd met een factor k wordt:

deze benadering toepassen op een nog complexere situatie:

de ouderfunctie in dit geval is

merk op dat elke instantie van “X” in F(X) heeft (x-1) vervangen, wat F(X) horizontaal vertaalt door +1. Vervolgens werd dit resultaat vermenigvuldigd met 3, waardoor een verticale dilatatie met een factor 3 ontstaat:

de oorspronkelijke verticale vertaling en het y-snijpunt van +1(de constante term in de definitie van f(x) ) wordt ook beïnvloed door de verticale dilatatie, en wordt +3 In g (x)… driemaal de afstand van de x-as die het oorspronkelijk was.

een laatste voorbeeld:

de ouderfunctie

is verticaal verwijd met een factor +2, horizontaal vertaald met + 7, en vervolgens verticaal vertaald met +3 (Na verticaal verwijd te zijn), om g(x)te produceren:

horizontale dilatatie

laten we terugkeren naar de grafiek van:

Wat gebeurt er met deze grafiek als de vergelijking wordt gewijzigd door elke “x” in de vergelijking met drie te vermenigvuldigen:

nogmaals kunnen we G(x) compacter beschrijven als we dit doen met f(x), maar deze keer wordt de dilatatiefactor vermenigvuldigd met de “input variabele” van de functie in plaats van het “resultaat” (zoals werd gedaan om een verticale dilatatie te produceren):

merk op dat f(x) Door punt 3,13 passeert. Aangezien we denken aan horizontale verwijdingen, laten we ons afvragen “welke waarde moet ‘x’ hebben als g(x) dezelfde output van 13 moet produceren?”

sinds (3,13) verplaatst is naar (1,13), heeft het vermenigvuldigen van elke “x” in f(x) met 3 de grafiek horizontaal gecomprimeerd, waarbij elk punt wordt verplaatst naar een derde van de vorige afstand van de y-as.

indien vermenigvuldiging van het resultaat van een functie met een factor een verticale dilatatie met dezelfde factor veroorzaakt, waarom veroorzaakt vermenigvuldiging van de inputvariabele met een factor dan een horizontale dilatatie met de reciproque van die factor? Om de vraag op een andere manier te stellen, als het gebruik van een coëfficiënt groter dan één dingen verticaal uitbreidt, waarom krimpt het dingen horizontaal? Dit verschil in effect lijkt op het eerste gezicht contra-intuïtief. Het verschil ontstaat doordat verticale verwijdingen optreden wanneer we de output van een functie schalen, terwijl horizontale verwijdingen optreden wanneer we de input van een functie schalen.

de” x “in de oorspronkelijke f(x) werd een” 3x “in g(x), dus G(x) bereikt een gegeven” input waarde ” drie keer sneller dan f(x). “x” hoeft slechts 1/3 zo groot te zijn in g(x) om het resultaat van de vergelijking hetzelfde te laten zijn als f(x). Daarom zijn alle punten op g(x) geschaald tot 1/3 van de afstand van de verticale as dat ze in f(x) waren.

dit proces werkt voor elke functie. Wanneer de invoer van de” ouderfunctie ” met een waarde wordt vermenigvuldigd, wordt de ouderfunctie horizontaal verwijd. Als

de ouderfunctie is, dan is

een horizontale verwijding van de ouderfunctie met een factor “1/a”.

dit idee toepassen op een iets complexere situatie:

dus

vertegenwoordigt een horizontale dilatatie met een factor 1/5 (richting de verticale as) van

met andere woorden, de periode van f (x) is, en de periode van g(x) is

horizontale dilataties van een kwadratische functie lijken eerst wat complexer, totdat u gewend bent geraakt aan het patroon dat u zoekt:

dus

vertegenwoordigt een horizontale dilatatie met een factor 2 (weg van de verticale as) van

merk op dat elke instantie van “x” in de ouderfunctie moet worden veranderd in

voor de nieuwe vergelijking om een horizontale dilatatie van de ouder met een factor 2 weer te geven.

deze benadering toepassen op een fractionele situatie:

dus

vertegenwoordigt een horizontale dilatatie met een factor 1 / k van

Wat is het verschil?

wanneer u zowel verticale als horizontale verwijderingen bekijkt, hebt u zich misschien gerealiseerd dat de grafieken van sommige functies, zoals

, kunnen worden beschouwd als een verticale verwijding met een factor 4 of een horizontale verwijding met een factor 1/2. Het is interessant om op te merken dat beide verwijdingen, die verticaal strekken of horizontaal knijpen, hetzelfde eindresultaat voor deze functie hebben. Kan dit ook gelden voor andere functies? Overweeg de volgende gelijkwaardige vergelijkingen:

dit voorbeeld toont aan dat sommige functies tot hetzelfde eindresultaat kunnen worden getransformeerd door een horizontale, een verticale dilatatie of een combinatie van beide. In het bovenstaande voorbeeld produceren de volgende drie sets van verwijderingen en vertalingen van de ouderfunctie dezelfde grafiek:
1) horizontaal verwijd met een factor 1/6, vervolgens horizontaal vertaald met +2. Geen verticale verwijding.
2) horizontaal verwijd met een factor 1/3, vervolgens horizontaal vertaald met +2. Verticaal verwijd met een factor 4.
3) geen horizontale verwijding, horizontaal vertaald door +2. Verticaal verwijd met een factor 36.

merk op hoe de horizontale vertalingen veranderen naarmate de horizontale verwijderingen veranderen. Aangezien een horizontale verwijding de gehele grafiek naar de verticale as krimpt, krimpt de horizontale vertaling van de grafiek met dezelfde factor. Aangezien de oorspronkelijke horizontale verwijderingsfactor van 1/6 in het bovenstaande voorbeeld met een factor 6 wordt verhoogd tot 1 (en in het proces wordt omgezet in een verticale verwijderingsfactor van 36), krimpt de oorspronkelijke horizontale vertaling van 12 met een factor 6 tot 2.

welke van de bovenstaande opties is de “normale” manier om deze grafiek te beschrijven? De ” normale “manier om een combinatie van verwijderingen en vertalingen te beschrijven is om alle verwijderingen om te zetten in verticale verwijderingen door de uitdrukking te manipuleren zodat de onafhankelijke variabele een coëfficiënt heeft van één.:

dus deze vergelijking vertegenwoordigt een verticale dilatatie met een factor 36 en een horizontale vertaling van +2 van de vergelijking

Als u niet geïnteresseerd was in de verticale dilatatie, maar alleen in de horizontale vertaling, zou u de onafhankelijke variabele expressie kunnen oplossen (voordat u een exponent toepast) voor nul:

wat ons vertelt dat de “ouderfunctie” horizontaal is vertaald met +2 nadat alle dilataties zijn uitgevoerd.

verwijding om lijnen van een as

in sommige situaties is het nuttig om een functie te verwijden ten opzichte van een horizontale of verticale lijn anders dan de as. Om dit te bereiken, moeten we:

1. Vertaal de grafiek zodat het deel van de grafiek dat onveranderd blijft door de verwijding wordt verplaatst naar de as
2. verwijd de grafiek met de gewenste hoeveelheid
3. Vertaal de verwijde functie terug naar de oorspronkelijke locatie

stel dat we een functie f(x) verticaal willen verwijden met een factor 3 rond de lijn y=2. De bovenstaande stappen tot het volgende voor de functie f(x):

Vertalen van f(x) naar beneden 2, zodat de lijn die we willen zetten is verplaatst naar de x-as:

Verwijden van de vertaalde functie verticaal met een factor van 3:

Nu “ongedaan maken” van de oorspronkelijke verticale vertaling door het vertalen van het back-up 2:

Indien u de grafiek zowel f(x) en g(x) op dezelfde grafiek, zoals hierboven weergegeven, u zal merken dat de twee grafieken snijden elkaar op de lijn y=2, dat is de lijn die we verwijde f(x). Dat zijn de enige twee punten op de grafiek van f (x) die onveranderd blijven door de verwijding.

dit zelfde proces kan worden gevolgd om horizontale verwijderingen te maken over een verticale lijn: vertaal de functie horizontaal, verwijd deze en vertaal het resultaat terug naar waar het begon.

wilt u spelen?

als u met verticale verwijdingen wilt spelen en wilt zien hoe ze werken, probeer dan een van de volgende Geogebra-applets. De enige die je laat spelen met horizontale dilaties is de laatste (sinusfunctie):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function