기능 확장:이를 인식하고 분석하는 방법

이 게시물은 2010 년에 작성되었습니다. 변환 방정식을 사용하는이 주제에 대한 나의 현재 접근 방식은 다음 링크를 따르십시오:함수 변환:확장

이 게시물은 함수 변환의 한 유형 인”확장”을 탐구합니다. 보다 간단한 변환 유형인”번역”에 익숙하지 않은 경우 함수 번역을 먼저 인식하고 분석하는 방법을 읽을 수 있습니다.

함수가 축에서 멀리 뻗어 있거나 축을 향해 압축되었을 때”확장”되었습니다(철자…

탄성 그래프 용지에 그려지고 축 중 하나를 따라 단단한 표면에 고정 된 그래프를 상상해보십시오. 이제 두 손으로 탄성 종이를 잡고,표면에 고정 된 축의 각면에 한 손으로,멀리 축에서 용지의 양쪽을 당겨. 이렇게 하면 그래프가”확장”되어 모든 점이 축에서 원래 거리의 배수로 이동하게 됩니다. 예를 들어 다음 그래프를 살펴보겠습니다:

위의 그래프는 수직 팽창 전후의 함수를 보여줍니다. 실선에 있는 두 점의 좌표는 점선에 있는 두 점의 좌표와 마찬가지로 표시됩니다.

원점은 두 선에 의해 공유되는 점이며,점선은 원점에서 여전히”엑스 축에서 두 배 멀리”있다는 점에 유의하는 것이 유용합니다. 함수 정의를 충족하고 함수가 수직으로 확장될 때 엑스 축에 있는 모든 점은 이동하지 않습니다.

위의 두 함수 간의 관계를 설명하는 두 가지 방법이 있습니다. 어느 쪽이든:

• 실선은 파선을 생성하기 위해”2 인수로 수직으로 확장”되었거나
• 점선은”0 인수로 수직으로 확장되었습니다.5″는 실선을 일으키기 위하여.

두 문 모두 그래프를 정확하게 설명합니다. 그러나 일반적으로 가장 간단한 함수 정의(대수적 용어로)는”부모”함수로 간주되며 더 복잡한 정의는 더 간단한 함수의 확장으로 설명됩니다.

예를 들어,

(아래 파선 곡선으로 그래프로 표시)은 더 간단한”부모”기능과 관련이 있다고 인식하면 분석하기가 더 쉽습니다.

(아래 솔리드 곡선으로 그래프로 표시)확장 및 변환되었습니다:

에프(엑스)는 수직으로 3 의 인수로 확장 된 다음 수직으로+5 로,수평으로+1 로 번역되어 지(엑스)를 생성합니다.

솔리드 포물선의 꼭지점 인 원점의 파란색 점은 와이-좌표(0)에 3 을 곱한 다음 5 를 더했습니다:

(0) 엑스 3 + 5 = 5

그런 다음 한 유닛을 오른쪽으로 이동시켜 엑스 좌표를 0 에서 1 로 변경했습니다. 따라서 원점에 있던”부모”정점은 변환 된 함수의(1,5)에 있습니다.

솔리드 포물선의 녹색 점(2,4)도 와이-좌표(4)에 3 을 곱하고 5 를 더했습니다.3 + 5 = 17

그런 다음 꼭지점과 마찬가지로 오른쪽으로 한 단위를 이동했으며 그 점(3,17)은 파선 포물선의 방정식을 충족시킵니다.

함수를 더 단순한”부모 함수”의 번역과 확장으로 시각화하면 복잡한 방정식을 훨씬 쉽게 해석 할 수 있습니다.

음의 팽창 인자로 인해 축에 대한 팽창과 반사가 모두 발생합니다. 팽창축의 한쪽에 있던 모든 점은 음의 팽창 인자에 의해 축의 다른 측면에 반영됩니다.

수직 팽창

함수를 나타내는 아래의 솔리드 포물선을 고려하십시오:

정점이(0,0)에서(0,4)로 이동하도록 수직으로+4 로 변환되면 방정식은 다음과 같습니다.

아래 파선 포물선으로 그래프로 표시됩니다. 점선 포물선의 그래프는 어떻게됩니까 에프(엑스)방정식의 모든 항이 3 을 곱하면? 이 곱셈의 결과를 지(엑스):

첫 번째 측면에서 두 번째 함수를 쉽게 쓸 수 있습니다.

정의하여 지(엑스)이 방법으로,우리는 명시 적으로 모든 와이-좌표에 의해 생성 된 지(엑스)는 해당 와이-좌표의 세 배가 될 것입니다. 즉,지(엑스)이다 에프(엑스)수직으로 확장 3 의 요인.

그래프의 모든 점 지(엑스)아래(위,점선,포물선)는 해당 점보다 엑스 축에서 3 배 더 멀리 떨어져 있습니다.):

이 프로세스는 모든 함수에 대해 작동합니다.

부모 함수의 결과에 값을 곱하면 부모 함수가 수직으로 확장됩니다. 만약 에프(엑스)는 부모 함수이고,

은 에프(엑스)를 수직으로”에이”의 배수로 확장합니다.

이 아이디어를 삼각 함수에 적용해 보겠습니다:

이전 단락의 설명을 바탕으로

은

의-5 의 수직 팽창을 나타낸다는 결론을 내릴 수 있습니다.이 접근법을 다른 유형 함수에 적용하면

같은 방식으로 분석 할 수 있음을 알 수 있습니다.

복잡한 상황:

이 경우 부모 함수는

모든 인스턴스에 유의하십시오. 그런 다음이 결과에 3 을 곱하여 3 의 인수로 수직 팽창을 일으켰습니다:

원래 수직 번역과 와이-절편+1(정의에서 상수 항 에프(엑스))도 수직 팽창의 영향을 받고+3 이됩니다.

마지막 예:

부모 함수

는+2 의 요인에 의해 수직으로 확장되고,수평으로+7 로 번역 된 다음+3(수직으로 확장 된 후)으로 번역되어 지(엑스):

수평 팽창

의 그래프로 돌아가 봅시다:

방정식의 모든”엑스”에 3 을 곱하여 방정식이 변경되면 이 그래프는 어떻게됩니까:

다시 한 번 설명 할 수 있습니다 지(엑스)더 컴팩트하게 우리가 그렇게하면 에프(엑스),그러나 이번에는 팽창 계수에”결과”대신 함수의”입력 변수”를 곱합니다.수직 팽창을 생성하기 위해 수행되었다):

참고 에프(엑스)점을 통과(3,13). 우리는 수평 팽창에 대해 생각하고 있기 때문에”어떤 값을 가져야 하는가 엑스’만약 지(엑스)이 같은 출력을 생성하는 것입니다 13?”

(3,13)이(1,13)로 이동했기 때문에 모든”엑스”에프(엑스)에 3 을 곱하면 그래프가 수평으로 압축되어 각 점이 이전 거리의 1/3 로 이동되었습니다.

함수의 결과에 인자를 곱하면 동일한 인자에 의한 수직 팽창이 발생하는 경우 입력 변수에 인자를 곱하면 왜 그 인자의 역수에 의한 수평 팽창이 발생합니까? 다른 방법으로 질문하기 위해,1 보다 큰 계수를 사용하면 사물을 수직으로 확장하면 왜 사물을 수평으로 축소합니까? 이 효과의 차이는 언뜻보기에는 반 직관적 인 것처럼 보입니다. 수직 팽창은 함수의 출력을 확장 할 때 발생하는 반면 수평 팽창은 함수의 입력을 확장 할 때 발생하기 때문에 차이가 발생합니다.

원래”엑스”에프(엑스)는”3 엑스”지(엑스),그래서 지(엑스)주어진”입력 값”에 도달 에프(엑스)보다 3 배 빠릅니다. “엑스”는 1/3 만큼 커야합니다 지(엑스)방정식의 결과가 동일하려면 에프(엑스). 따라서 모든 점 지(엑스)에 있던 수직 축으로부터의 거리의 1/3 이되도록 배율이 조정되었습니다.

이 프로세스는 모든 기능에 대해 작동합니다. “부모 함수”의 입력에 값이 곱해질 때마다 부모 함수는 수평으로 확장됩니다.

이 부모 함수이면

은 부모 함수의 수평 팽창을”1/”의 계수로 나타냅니다.

이 아이디어를 약간 더 복잡한 상황에 적용:

그리고

나타내며 가로 팽창에 의해 요소의 1/5(을 향해 수직 축)의

다시 말해,의 기간 f(x),기간 g(x)

수평의 확장의 차 함수 보 조금 더 복잡한,처음에 익숙해질 때까지 본을 찾고 있는:

따라서

는

의 2 인수로 수평 팽창을 나타냅니다.

이 접근법을 분수 상황에 적용:

그래서

은

의 차이점은 무엇입니까?

수직 및 수평 팽창을 모두 고려할 때

과 같은 일부 함수의 그래프는 4 인수로 수직 팽창 또는 1/2 인수로 수평 팽창으로 간주 될 수 있음을 깨달았을 것입니다. 흥미로운 점은 수직으로 늘리거나 수평으로 쥐어 짜는 두 가지 팽창 모두이 기능에 대해 동일한 최종 결과를 가지고 있다는 것입니다. 이것은 다른 기능에도 해당 될 수 있습니까? 다음과 같은 동등한 방정식을 고려하십시오:

이 예는 일부 함수가 수평 확장,수직 확장 또는 둘의 조합에 의해 동일한 최종 결과로 변환 될 수 있음을 보여줍니다. 위의 예에서 부모 함수의 다음 세 가지 확장 및 변환 세트는 동일한 그래프를 생성합니다.
1)수평으로 1/6 의 배수로 확장 한 다음 수평으로+2 로 변환합니다. 수직 팽창 없음.
2)수평으로 1/3 의 인자로 확장 한 다음 수평으로+2 로 번역했습니다. 4 의 요인에 의해 수직으로 확장.
3)수평 팽창이 없으며 수평으로+2 로 번역됩니다. 36 의 요인에 의해 수직으로 확장.

수평 팽창이 변화함에 따라 수평 번역이 어떻게 변하는 지 주목하십시오. 수평 팽창은 전체 그래프를 수직 축으로 축소하므로 그래프의 수평 변환은 동일한 요인만큼 축소됩니다. 위의 예에서 1/6 의 원래 수평 팽창 계수가 6 의 계수로 1 로 증가함에 따라(과정에서 36 의 수직 팽창 계수로 변환 됨)12 의 원래 수평 변환은 6 의 계수로 축소되어 2 가됩니다.

위의 모든 옵션 중 어느 것이이 그래프를 설명하는”정상적인”방법입니까? 그것을 설명하는 바람직한 방법을 갖는 것은 다른 사람들이 같은 방법으로 그래프를 설명 할 가능성이 더 높아질 것입니다…

팽창과 번역의 조합을 설명하는”정상적인”방법은 독립 변수가 1 의 계수를 갖도록 식을 조작하여 모든 팽창을 수직 팽창으로 변환하는 것입니다.:

그래서이 방정식은 36 의 인자에 의한 수직 팽창과 방정식의+2 의 수평 변환을 나타냅니다

수직 팽창에 관심이 없지만 수평 변환에서만 0 에 대한 독립 변수 표현(지수를 적용하기 전에)을 풀 수 있습니다:

모든 팽창이 수행 된 후”부모 함수”가 수평으로+2 로 번역되었음을 알려줍니다.

축에서 떨어진 선에 대한 확장

어떤 상황에서는 축 이외의 수평선 또는 수직선에 상대적으로 함수를 확장하는 것이 유용할 것이다. 이를 달성하기 위해,우리는 필요:

1. 그래프를 변환하여 팽창에 의해 변하지 않을 그래프의 일부가 축으로 이동되도록
2. 욕망량만큼 그래프를 확장
3. 확장 함수를 원래 위치로 다시 변환

우리가 함수를 확장하기를 원한다고 가정하십시오.

번역된 함수를 세로로 3 배 확장:

이제 원래 수직 번역을 다시 번역하여”실행 취소”합니다.2:

위의 그림과 같이 동일한 그래프에서 두 그래프가 서로 교차한다는 것을 알 수 있습니다 와이=2,이는 우리가 확장 한 선입니다 에프(엑스). 그래프의 두 점만 에프(엑스)팽창에 의해 변하지 않습니다.

이 같은 과정을 따라 수직선에 대한 수평 팽창을 만들 수 있습니다:기능을 수평으로 변환 한 다음 확장 한 다음 결과를 시작 위치로 다시 변환합니다.

놀고 싶어?

수직 팽창으로 놀아보고 어떻게 작동하는지 확인하려면 다음 지오지브라 애플릿 중 하나를 시도하십시오. 당신이 수평 팽창으로 재생할 수있는 유일한 사람은 마지막(사인 함수)입니다:
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function