Funktionserweiterungen: Wie man sie erkennt und analysiert

Dieser Beitrag wurde 2010 geschrieben. Für meinen aktuellen Ansatz zu diesem Thema, der Transformationsgleichungen verwendet, folgen Sie bitte diesem Link: Funktionstransformationen: Dilatation

Dieser Beitrag untersucht eine Art von Funktionstransformation: „Dilatation“. Wenn Sie mit „Übersetzung“, einer einfacheren Art der Transformation, nicht vertraut sind, möchten Sie vielleicht Function Translations: How to recognize and analyze them first lesen.

Eine Funktion wurde „erweitert“ (beachten Sie die Schreibweise … sie wird nicht „erweitert“ geschrieben oder ausgesprochen), wenn sie von einer Achse weg gedehnt oder in Richtung einer Achse komprimiert wurde.

Stellen Sie sich ein Diagramm vor, das auf elastischem Millimeterpapier gezeichnet und entlang einer der Achsen an einer festen Oberfläche befestigt wurde. Fassen Sie nun das elastische Papier mit beiden Händen an, eine Hand auf jeder Seite der Achse, die an der Oberfläche befestigt ist, und ziehen Sie beide Seiten des Papiers von der Achse weg. Dadurch wird das Diagramm „erweitert“, sodass sich alle Punkte von der Achse auf ein Vielfaches ihres ursprünglichen Abstands von der Achse entfernen. Betrachten Sie als Beispiel die folgende Grafik:

Die obige Grafik zeigt eine Funktion vor und nach einer vertikalen Dilatation. Die Koordinaten zweier Punkte auf der durchgezogenen Linie werden ebenso angezeigt wie die Koordinaten der beiden entsprechenden Punkte auf der gestrichelten Linie, damit Sie überprüfen können, ob die gestrichelte Linie genau doppelt so weit von der x-Achse entfernt ist wie derselbe Farbpunkt auf der durchgezogenen Linie.

Der Ursprung ist ein Punkt, der von beiden Linien geteilt wird, und es ist nützlich zu beachten, dass die gestrichelte Linie am Ursprung immer noch „doppelt so weit von der x-Achse entfernt“ ist, weil . Jeder Punkt, der eine Funktionsdefinition erfüllt und auf der x-Achse liegt, bewegt sich nicht, wenn die Funktion vertikal erweitert wird.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Beziehung zwischen den beiden oben dargestellten Funktionen zu beschreiben. Entweder:

• die durchgezogene Linie wurde „vertikal um den Faktor 2 erweitert“, um die gestrichelte Linie zu erzeugen, oder
• Die gestrichelte Linie wurde „vertikal um den Faktor 0 erweitert“.5″, um die durchgezogene Linie zu erzeugen.

Beide Aussagen beschreiben den Graphen genau. Im Allgemeinen wird jedoch die Funktionsdefinition, die (in algebraischen Begriffen) am einfachsten ist, als „übergeordnete“ Funktion betrachtet, wobei die komplexere Definition als Erweiterung der einfacheren Funktion beschrieben wird.

Zum Beispiel ist

(dargestellt als gestrichelte Kurve unten) einfacher zu analysieren, wenn Sie es als mit einer einfacheren „übergeordneten“ Funktion verwandt wahrnehmen:

(dargestellt als durchgezogene Kurve unten), die sowohl erweitert als auch übersetzt wurde:

f(x) wurde vertikal um den Faktor 3 erweitert, dann vertikal um +5 und horizontal um +1 übersetzt, um g(x) zu erzeugen.

Der blaue Punkt am Ursprung, der der Scheitelpunkt der festen Parabel ist, hatte seine y-Koordinate (0) mit drei multipliziert und dann fünf hinzugefügt:

(0) x 3 + 5 = 5

Es wurde dann eine Einheit nach rechts verschoben, wodurch sich seine x-Koordinate von 0 nach 1 änderte. Der „übergeordnete“ Scheitelpunkt, der sich am Ursprung befand, befindet sich also in der transformierten Funktion bei (1, 5).

Der grüne Punkt auf der festen Parabel (2, 4) hatte auch seine y-Koordinate (4) mit drei multipliziert und fünf hinzugefügt:

4 x 3 + 5 = 17

Es wurde dann eine Einheit nach rechts verschoben, genau wie der Scheitelpunkt, und dieser Punkt (3,17) erfüllt die Gleichung der gestrichelten Parabel, g (x).

Die Visualisierung von Funktionen als Übersetzungen und Dilatationen einer einfacheren „Elternfunktion“ kann die Interpretation komplex aussehender Gleichungen erheblich erleichtern.

Beachten Sie, dass ein negativer Dilatationsfaktor sowohl eine Dilatation als auch eine Reflexion um die Achse verursacht. Alle Punkte, die sich auf einer Seite der Dilatationsachse befanden, werden durch einen negativen Dilatationsfaktor auf die andere Seite der Achse reflektiert.

Vertikale Dilatation

Betrachten Sie die feste Parabel unten, die die Funktion darstellt:

Wenn es vertikal um +4 übersetzt wird, so dass sich sein Scheitelpunkt von (0,0) nach (0,4) bewegt, wird die Gleichung:

was durch die gestrichelte Parabel unten grafisch dargestellt wird. Was passiert mit dem Graphen der gestrichelten Parabel f (x), wenn jeder Term in seiner Gleichung mit drei multipliziert wird? Wir bezeichnen das Ergebnis dieser Multiplikation als g (x):

Beachten Sie, dass wir diese zweite Funktion leicht in Bezug auf die erste schreiben könnten:

Indem wir g(x) auf diese Weise definieren, geben wir explizit an, dass jede von g(x) erzeugte y-Koordinate dreimal ist die entsprechende y-Koordinate auf f(x). Mit anderen Worten, g (x) ist f (x) vertikal um den Faktor drei erweitert.

Jeder Punkt im Graphen von g(x) unten (die obere, gepunktete Parabel) ist dreimal weiter von der x-Achse entfernt als der entsprechende Punkt auf f(x):

Dieser Prozess funktioniert für jede Funktion.

Jedes Mal, wenn das Ergebnis einer übergeordneten Funktion mit einem Wert multipliziert wird, wird die übergeordnete Funktion vertikal erweitert. Wenn f(x) die übergeordnete Funktion ist, erweitert

f(x) vertikal um den Faktor „a“.

Wenden wir diese Idee auf eine trigonometrische Funktion an:

Basierend auf der Erklärung im vorherigen Absatz können wir daraus schließen, dass

eine vertikale Dilatation um -5 von

Wenn wir diesen Ansatz auf eine andere Typfunktion anwenden

Sie können sehen, dass wir es auf die gleiche Weise analysieren können:

vertikal um den Faktor k erweitert wird:

Anwendung dieses Ansatzes auf eine komplexe Situation:

Die übergeordnete Funktion ist in diesem Fall

Beachten Sie, dass für jede Instanz von „x“ in f(x) (x-1) ersetzt wurde, wodurch f(x) horizontal durch +1 übersetzt wird. Dann wurde dieses Ergebnis mit 3 multipliziert, was zu einer vertikalen Dilatation um den Faktor 3 führte:

Die ursprüngliche vertikale Translation und der y-Schnittpunkt von +1 ( der konstante Term in der Definition von f(x) ) wird ebenfalls von der vertikalen Dilatation beeinflusst und wird +3 in g(x) … dreimal so groß wie der Abstand von der x-Achse, der ursprünglich war.

Ein letztes Beispiel:

Die übergeordnete Funktion

wurde vertikal um den Faktor +2 erweitert, horizontal um +7 und dann vertikal um +3 übersetzt (nachdem sie vertikal erweitert wurde), um g(x):

Horizontale Dilatation

Kehren wir zum Graphen von zurück:

Was passiert mit diesem Graphen, wenn die Gleichung geändert wird, indem jedes „x“ in der Gleichung mit drei multipliziert wird:

Wieder können wir g(x) kompakter beschreiben, wenn wir dies mit f(x) tun, aber diesmal wird der Dilatationsfaktor mit der „Eingangsvariablen“ der Funktion multipliziert, anstatt mit ihrem „Ergebnis“ (wie getan wurde, um eine vertikale Dilatation zu erzeugen):

Beachten Sie, dass f(x) durch den Punkt (3,13) verläuft. Da wir über horizontale Dilatationen nachdenken, fragen wir: „Welchen Wert muss ‚x‘ haben, wenn g (x) dieselbe Ausgabe von 13 erzeugen soll?“

Da (3,13) nach (1,13) verschoben wurde, hat die Multiplikation jedes „x“ in f(x) mit 3 den Graphen horizontal komprimiert, wobei jeder Punkt auf ein Drittel seines vorherigen Abstands von der y-Achse verschoben wurde.

Wenn das Multiplizieren des Ergebnisses einer Funktion mit einem Faktor eine vertikale Dilatation um denselben Faktor verursacht, warum verursacht das Multiplizieren der Eingangsvariablen mit einem Faktor eine horizontale Dilatation um den Kehrwert dieses Faktors? Um die Frage anders zu stellen: Wenn ein Koeffizient größer als eins verwendet wird, werden die Dinge vertikal erweitert, warum werden die Dinge horizontal verkleinert? Dieser Unterschied in der Wirkung scheint auf den ersten Blick kontraintuitiv. Der Unterschied tritt auf, weil vertikale Dilatationen auftreten, wenn wir die Ausgabe einer Funktion skalieren, während horizontale Dilatationen auftreten, wenn wir die Eingabe einer Funktion skalieren.

Das „x“ im ursprünglichen f(x) wurde zu einem „3x“ in g(x), so dass g(x) einen gegebenen „Eingabewert“ dreimal schneller erreicht als f(x). „x“ muss in g(x) nur 1/3 so groß sein, damit das Ergebnis der Gleichung mit f (x) übereinstimmt. Daher wurden alle Punkte auf g (x) so skaliert, dass sie 1/3 des Abstands von der vertikalen Achse in f (x) betragen.

Dieser Prozess funktioniert für jede Funktion. Jedes Mal, wenn die Eingabe der „übergeordneten Funktion“ mit einem Wert multipliziert wird, wird die übergeordnete Funktion horizontal erweitert. Wenn

die übergeordnete Funktion ist, stellt

eine horizontale Erweiterung der übergeordneten Funktion um den Faktor „1 / a“ dar.

Wenden Sie diese Idee auf eine etwas komplexere Situation an:

also

repräsentiert eine horizontale Dilatation um den Faktor 1/5 (zur vertikalen Achse) von

Mit anderen Worten, die Periode von f(x) ist und die Periode von g(x) ist

Horizontale Dilatationen einer quadratischen Funktion sehen zunächst etwas komplexer aus, bis Sie sich an das Muster gewöhnt haben, nach dem Sie suchen:

also

repräsentiert eine horizontale Erweiterung um den Faktor 2 (weg von der vertikalen Achse) von

Beachten Sie, dass jede Instanz von „x“ in der übergeordneten Funktion geändert werden muss

für die neue Gleichung, um eine horizontale Erweiterung des Elternteils um den Faktor 2 darzustellen.

Anwendung dieses Ansatzes auf eine Bruchsituation:

also

repräsentiert eine horizontale Dilatation um den Faktor 1 / k von

Was ist der Unterschied?

Bei der Betrachtung sowohl vertikaler als auch horizontaler Dilatationen haben Sie möglicherweise festgestellt, dass die Graphen einiger Funktionen, z. B.

, entweder als vertikale Dilatation um den Faktor 4 oder als horizontale Dilatation um den Faktor 1/2 betrachtet werden können. Es ist interessant festzustellen, dass beide Dilatationen, die vertikal gedehnt oder horizontal gequetscht werden, für diese Funktion das gleiche Endergebnis haben. Kann das auch für andere Funktionen gelten? Betrachten Sie die folgenden äquivalenten Gleichungen:

Dieses Beispiel zeigt, dass einige Funktionen entweder durch eine horizontale Dilatation, eine vertikale Dilatation oder eine Kombination aus beidem zu demselben Endergebnis führen können. Im obigen Beispiel ergeben die folgenden drei Sätze von Dilatationen und Translationen der übergeordneten Funktion denselben Graphen:
1) Horizontal um den Faktor 1/6 erweitert und dann horizontal um +2 übersetzt. Keine vertikale Dilatation.
2) Horizontal um den Faktor 1/3 erweitert und dann horizontal um +2 übersetzt. Vertikal um den Faktor 4 erweitert.
3) Keine horizontale Dilatation, horizontal um +2 übersetzt. Vertikal um den Faktor 36 erweitert.

Beachten Sie, wie sich die horizontalen Translationen ändern, wenn sich die horizontalen Dilatationen ändern. Da eine horizontale Dilatation den gesamten Graphen in Richtung der vertikalen Achse verkleinert, schrumpft die horizontale Translation des Graphen um denselben Faktor. Da der ursprüngliche horizontale Dilatationsfaktor von 1/6 im obigen Beispiel um den Faktor 6 auf 1 erhöht wird (wobei er in einen vertikalen Dilatationsfaktor von 36 umgewandelt wird), schrumpft die ursprüngliche horizontale Translation von 12 um den Faktor 6 auf 2.

Also, welche der oben genannten Optionen ist die „normale“ Art, dieses Diagramm zu beschreiben? Wenn Sie eine bevorzugte Art der Beschreibung haben, wird es wahrscheinlicher, dass verschiedene Personen den Graphen auf die gleiche Weise beschreiben …

Die „normale“ Art der Beschreibung einer Kombination von Dilatationen und Translationen besteht darin, alle Dilatationen in vertikale Dilatationen umzuwandeln, indem Sie den Ausdruck so manipulieren, dass die unabhängige Variable einen Koeffizienten von:

Diese Gleichung repräsentiert also eine vertikale Dilatation um den Faktor 36 und eine horizontale Translation von +2 der Gleichung

Wenn Sie nicht an der vertikalen Dilatation interessiert wären, sondern nur an der horizontalen Translation, könnten Sie den unabhängigen Variablenausdruck (bevor Sie einen Exponenten anwenden) für Null lösen:

was uns sagt, dass die „Elternfunktion“ horizontal um +2 übersetzt wurde, nachdem alle Dilatationen durchgeführt wurden.

Dilatation über Linien, die von einer Achse entfernt sind

In einigen Situationen ist es nützlich, eine Funktion relativ zu einer anderen horizontalen oder vertikalen Linie als der Achse zu erweitern. Um dies zu erreichen, müssen wir:

1. Übersetzen Sie den Graphen so, dass der Teil des Graphen, der durch die Dilatation unverändert bleiben soll, auf die Achse verschoben wird
2. Erweitern Sie den Graphen um den gewünschten Betrag
3. Übersetzen Sie die erweiterte Funktion zurück an ihren ursprünglichen Ort

Angenommen, wir möchten eine Funktion f(x) vertikal um den Faktor 3 um die Linie y = 2 erweitern. Die obigen Schritte ergeben Folgendes für die Funktion f (x):

Übersetzen Sie f(x) nach unten 2, so dass die Linie, um die wir erweitern möchten, auf die x-Achse verschoben wird:

Erweitern Sie die übersetzte Funktion vertikal um den Faktor 3:

„Machen“ Sie nun die ursprüngliche vertikale Übersetzung rückgängig, indem Sie sie 2:

Wenn Sie sowohl f (x) als auch g (x) wie oben gezeigt in demselben Diagramm grafisch darstellen, werden Sie feststellen, dass sich die beiden Diagramme an der Linie y = 2 schneiden, um die wir f (x) erweitert haben. Dies sind die einzigen zwei Punkte auf dem Graphen von f (x), die durch die Dilatation unverändert bleiben.

Derselbe Vorgang kann befolgt werden, um horizontale Erweiterungen um eine vertikale Linie zu erstellen: Übersetzen Sie die Funktion horizontal, erweitern Sie sie dann und übersetzen Sie das Ergebnis wieder dorthin, wo es begonnen hat.

Willst du spielen?

Wenn Sie mit vertikalen Dilatationen herumspielen und sehen möchten, wie sie funktionieren, probieren Sie eines der folgenden Geogebra-Applets aus. Die einzige, mit der Sie mit horizontalen Dilatationen spielen können, ist die letzte (Sinusfunktion):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function