Dilataciones de funciones: Cómo reconocerlas y analizarlas

Este post fue escrito en 2010. Para mi enfoque actual de este tema, que utiliza ecuaciones de transformación, siga este enlace: Transformaciones de funciones: Dilatación

Este post explora un tipo de transformación de funciones: «dilatación». Si no está familiarizado con la» traducción», que es un tipo de transformación más simple, es posible que desee leer Traducciones de funciones: Cómo reconocerlas y analizarlas primero.

Una función ha sido » dilatada «(nótese la ortografía not no se escribe ni se pronuncia» dialated») cuando se ha estirado lejos de un eje o comprimido hacia un eje.

Imagine un gráfico dibujado en papel cuadriculado elástico y sujeto a una superficie sólida a lo largo de uno de los ejes. Ahora sujete el papel elástico con ambas manos, una mano a cada lado del eje que está fijado a la superficie, y tire de ambos lados del papel lejos del eje. Al hacerlo, «dilata» el gráfico, haciendo que todos los puntos se alejen del eje a un múltiplo de su distancia original del eje. Como ejemplo de esto, considere el siguiente gráfico:

El gráfico de arriba muestra una función antes y después de una dilatación vertical. Se muestran las coordenadas de dos puntos en la línea continua, al igual que las coordenadas de los dos puntos correspondientes en la línea discontinua, para ayudarle a verificar que la línea discontinua está exactamente el doble de lejos del eje x que el mismo punto de color en la línea continua.

El origen es un punto compartido por ambas líneas, y es útil tener en cuenta que la línea discontinua sigue estando «dos veces más lejos del eje x» en el origen, porque . Cualquier punto que satisfaga una definición de función y se encuentre en el eje x no se moverá cuando la función se dilate verticalmente.

Hay dos formas en que podemos describir la relación entre las dos funciones que se muestran en el gráfico anterior. O bien:

• la línea continua ha sido «dilatada verticalmente por un factor de 2» para producir la línea discontinua, o
• la línea discontinua ha sido «dilatada verticalmente por un factor de 0.5» para producir la línea continua.

Ambas instrucciones describen el gráfico con precisión. Sin embargo, en general, la definición de función que es más simple (en términos algebraicos) se considerará la función «padre», con la definición de aspecto más complejo que se describe como una dilatación de la función más simple.

Por ejemplo,

(gráfica como la curva discontinua a continuación), es más fácil de analizar si la percibe como relacionada con una función «padre» más simple:

(gráfica como la curva sólida a continuación) que ha sido dilatada y traducida:

f (x) se ha dilatado verticalmente por un factor de 3, luego se ha traducido verticalmente por +5 y horizontalmente por +1 para producir g(x).

El punto azul en el origen, que es el vértice de la parábola sólida, tenía su coordenada y (0) multiplicada por tres y luego se le agregaron cinco:

(0) x 3 + 5 = 5

Luego se desplazó una unidad a la derecha, haciendo que su coordenada x cambiara de 0 a 1. Por lo tanto, el vértice «padre» que estaba en el origen se encuentra en (1, 5) en la función transformada.

El punto verde en la parábola sólida (2, 4) también tenía su coordenada y (4) multiplicada por tres y se le agregaron cinco:

4 x 3 + 5 = 17

Luego se desplazó una unidad a la derecha, al igual que el vértice, y ese punto (3 ,17) satisface la ecuación de la parábola discontinua, g(x).

Visualizar funciones como traducciones y dilataciones de una «función padre» más simple puede hacer que las ecuaciones de aspecto complejo sean mucho más fáciles de interpretar.

Tenga en cuenta que un factor de dilatación negativo causa tanto una dilatación como una reflexión sobre el eje. Todos los puntos que estaban en un lado del eje de dilatación se reflejan al otro lado del eje por un factor de dilatación negativo.

Dilatación vertical

Considere la parábola sólida de abajo, que representa la función:

Si se traduce verticalmente por + 4, de modo que su vértice se mueva de (0,0) a (0,4), la ecuación se convierte en:

que se representa gráficamente por la parábola discontinua de abajo. ¿Qué sucede con la gráfica de la parábola discontinua f (x) si cada término de su ecuación se multiplica por tres? Nos referiremos al resultado de esta multiplicación como g (x):

Tenga en cuenta que podríamos escribir fácilmente esta segunda función en términos de la primera:

Definiendo g(x) de esta manera, estamos declarando explícitamente que cada coordenada y producida por g(x) será tres veces la coordenada y correspondiente en f(x). En otras palabras, g (x) es f (x) dilatada verticalmente por un factor de tres.

Cada punto en la gráfica de g(x) debajo (la parábola superior, punteada) está tres veces más lejos del eje x que el punto correspondiente en f (x):

Este proceso funciona para cualquier función.

Cada vez que el resultado de una función principal se multiplica por un valor, la función principal se dilata verticalmente. Si f (x) es la función padre, entonces

dilata f(x) verticalmente por un factor de «a».

Apliquemos esta idea a una función trigonométrica:

Basado en la explicación en el párrafo anterior, podemos concluir que

representa una dilatación vertical por -5 de

Si aplicamos este enfoque a otra función de tipo

puede ver que podemos analizarlo de la misma manera:

dilatado verticalmente por un factor de k se convierte en:

Aplicando este enfoque a una situación compleja:

La función padre en este caso es

Tenga en cuenta que cada instancia de «x» en f(x) ha sido sustituida por (x-1), lo que traduce f(x) horizontalmente por +1. Luego, este resultado se multiplicó por 3, causando una dilatación vertical por un factor de 3:

La traducción vertical original y la intersección en y de +1 (el término constante en la definición de f(x) ) también se ve afectada por la dilatación vertical, y se convierte en +3 en g (x) three tres veces la distancia desde el eje x que estaba originalmente.

Un último ejemplo:

La función padre

ha sido dilatada verticalmente por un factor de +2, traducida horizontalmente por + 7, y luego traducida verticalmente por + 3 (después de ser dilatada verticalmente), para producir g (x):

Dilatación horizontal

Volvamos a la gráfica de:

Qué sucede con esta gráfica si la ecuación se cambia multiplicando cada «x» en la ecuación por tres:

Una vez más, podemos describir g(x) de forma más compacta si lo hacemos usando f(x), sin embargo, esta vez el factor de dilatación se multiplica por la «variable de entrada» de la función en lugar de su «resultado» (como se hizo para producir una dilatación vertical):

Tenga en cuenta que f(x) pasa a través del punto (3,13). Ya que estamos pensando en dilataciones horizontales, preguntemos «¿Qué valor debe tener ‘ x ‘ si g (x) va a producir esta misma salida de 13?»

Desde que (3,13) se movió a (1,13), multiplicando cada» x » en f(x) por 3 ha comprimido el gráfico horizontalmente, con cada punto moviéndose a un tercio de su distancia anterior desde el eje y.

Si multiplicar el resultado de una función por un factor causa una dilatación vertical por el mismo factor, ¿por qué multiplicar la variable de entrada por un factor causa una dilatación horizontal por el recíproco de ese factor? Para hacer la pregunta de otra manera, si el uso de un coeficiente mayor que uno expande las cosas verticalmente, ¿por qué encoge las cosas horizontalmente? Esta diferencia de efecto parece a primera vista contra-intuitiva. La diferencia ocurre porque las dilataciones verticales ocurren cuando escalamos la salida de una función, mientras que las dilataciones horizontales ocurren cuando escalamos la entrada de una función.

La » x «en el f(x) original se convirtió en un» 3x «en g(x), por lo que g(x) alcanza un» valor de entrada » dado tres veces más rápido que f(x). «x» solo tiene que ser 1/3 de grande en g(x) para que el resultado de la ecuación sea el mismo que f (x). Por lo tanto, todos los puntos en g(x) se han escalado para ser 1/3 de la distancia del eje vertical que estaban en f(x).

Este proceso funciona para cualquier función. Cada vez que la entrada de la «función padre» se multiplica por un valor, la función padre se dilata horizontalmente. Si

es la función padre, entonces

representa una dilatación horizontal de la función padre por un factor de «1 / a».

Aplicar esta idea a una situación un poco más compleja:

así que

representa una dilatación horizontal por un factor de 1/5 (hacia el eje vertical) de

En otras palabras , el período de f(x) es, y el período de g(x) es

Las dilataciones horizontales de una función cuadrática se ven un poco más complejas al principio, hasta que se acostumbre al patrón que está buscando:

así que

representa una dilatación horizontal por un factor de 2 (alejado del eje vertical) de

Tenga en cuenta que cada instancia de «x» en la función padre debe cambiarse para ser

para que la nueva ecuación represente una dilatación horizontal del padre por un factor de 2.

Aplicando este enfoque a una situación fraccionada:

así que

representa una dilatación horizontal por un factor de 1 / k de

¿Cuál es la diferencia?

Al contemplar dilataciones verticales y horizontales, es posible que se haya dado cuenta de que los gráficos de algunas funciones, como

, podrían considerarse una dilatación vertical por un factor de 4 o una dilatación horizontal por un factor de 1/2. Es interesante notar que ambas dilataciones, estirándola verticalmente o apretándola horizontalmente, tienen el mismo resultado final para esta función. ¿Puede esto ser cierto para otras funciones también? Considere las siguientes ecuaciones equivalentes:

Este ejemplo demuestra que algunas funciones pueden transformarse en el mismo resultado final mediante una dilatación horizontal, una dilatación vertical o una combinación de ambas. En el ejemplo anterior, los siguientes tres conjuntos de dilataciones y traducciones de la función padre producen el mismo gráfico:
1) Dilatada horizontalmente por un factor de 1/6, luego traducida horizontalmente por +2. Sin dilatación vertical.
2) Dilatada horizontalmente por un factor de 1/3, luego traducida horizontalmente por +2. Dilatada verticalmente por un factor de 4.
3) Sin dilatación horizontal, traducida horizontalmente por +2. Dilatada verticalmente por un factor de 36.

Observe cómo cambian las traducciones horizontales a medida que cambian las dilataciones horizontales. Dado que una dilatación horizontal reduce todo el gráfico hacia el eje vertical, la traducción horizontal del gráfico se reduce por el mismo factor. Como el factor de dilatación horizontal original de 1/6 en el ejemplo anterior se incrementa en un factor de 6 para ser 1 (convirtiéndose en un factor de dilatación vertical de 36 en el proceso), la traducción horizontal original de 12 se reduce en un factor de 6 para convertirse en 2.

Entonces, ¿cuál de todas las opciones anteriores es la forma» normal » de describir este gráfico? Tener una forma preferida de describirlo hará que sea más probable que diferentes personas describan el gráfico de la misma manera

La forma «normal» de describir una combinación de dilataciones y traducciones es convertir todas las dilataciones en dilataciones verticales manipulando la expresión para que la variable independiente tenga un coeficiente de:

Por lo tanto, esta ecuación representa una dilatación vertical por un factor de 36 y una traducción horizontal de +2 de la ecuación

Si no estaba interesado en la dilatación vertical, sino solo en la traducción horizontal, podría resolver la expresión de variable independiente (antes de aplicar cualquier exponente) para cero:

que nos dice que la «función padre» se ha traducido horizontalmente por +2 después de que se hayan realizado todas las dilataciones.

Dilatación De Líneas Alejadas de un Eje

En algunas situaciones, será útil dilatar una función relativa a una línea horizontal o vertical que no sea el eje. Para lograrlo, necesitamos:

1. Traducir el gráfico para que la parte del gráfico que debe permanecer sin cambios por la dilatación se mueva al eje
2. Dilatar el gráfico por la cantidad deseada
3. Traducir la función dilatada a su ubicación original

Supongamos que deseamos dilatar una función f(x) verticalmente por un factor de 3 sobre la línea y=2. Los pasos anteriores producen lo siguiente para la función f (x):

Traducir f (x) hacia abajo 2, de modo que la línea sobre la que deseamos dilatar se mueva al eje x:

Dilatar la función traducida verticalmente en un factor de 3:

Ahora «deshacer» la traducción vertical original traduciéndola de nuevo hacia arriba 2:

Si graficas tanto f (x) como g(x) en el mismo gráfico, como se muestra arriba, notarás que los dos gráficos se cruzan en la línea y=2, que es la línea sobre la que dilatamos f(x). Esos son los únicos dos puntos en el gráfico de f (x) que permanecen inalterados por la dilatación.

Este mismo proceso se puede seguir para crear dilataciones horizontales sobre alguna línea vertical: traducir la función horizontalmente, luego dilatarla y luego traducir el resultado de vuelta a donde comenzó.

¿Quieres Jugar?

Si desea jugar con dilataciones verticales y ver cómo funcionan, pruebe cualquiera de los siguientes applets de Geogebra. La única que te permite jugar con dilataciones horizontales es la última (Función Seno):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function