Function Dilations: How to recognize and analysis them
This post was written in 2010. Minun nykyinen lähestymistapa tähän aiheeseen, joka käyttää transformation yhtälöt, seuraa tätä linkkiä: Funktion Transformations: Dilation
tämä viesti tutkii yksi tyyppi funktion transformaatio:”dilation”. Jos et tunne ”käännöstä”, joka on yksinkertaisempi muunnostyyppi, haluat ehkä lukea Funktiokäännökset: miten tunnistaa ja analysoida ne ensin.
funktio on ”laajentunut” (huomaa kirjoitusasu… sitä ei kirjoiteta eikä lausuta ”dialoitu”), kun se on venytetty poispäin akselista tai puristettu akselia kohti.
kuvitelkaa kuvaaja, joka on piirretty elastiselle kuviopaperille ja kiinnitetty kiinteälle pinnalle yhtä akselia pitkin. Nyt Tartu joustava paperi molemmin käsin, yksi käsi kummallakin puolella akselin, joka on kiinnitetty pintaan, ja vedä molemmin puolin paperin pois akselilta. Näin” laajentaa ” kuvaajan, jolloin kaikki pisteet siirtyvät pois akselilta moninkertaiseksi niiden alkuperäisestä etäisyydestä akselista. Esimerkkinä tästä voidaan pitää seuraavaa kaaviota:
yllä olevassa kuvaajassa on funktio ennen ja jälkeen pystysuoran dilataation. Koordinaatit kaksi pistettä kiinteän linjan näytetään, samoin kuin koordinaatit kaksi vastaavaa pistettä on dashed line, jonka avulla voit tarkistaa, että dashed linja on täsmälleen kaksi kertaa niin kaukana x-akselin kuin saman värinen piste kiinteän linjan.
Origo on molempien janojen yhteinen piste, ja on hyödyllistä huomata, että dashed-viiva on edelleen ”kaksi kertaa niin kaukana X-akselista” origossa, koska . Mikään piste, joka täyttää funktion määritelmän ja sijaitsee x-akselilla, ei liiku, kun funktio on laajentunut pystysuunnassa.
on olemassa kaksi tapaa, joilla voidaan kuvata yllä kuvattujen kahden funktion välinen suhde. Joko:
- umpiviivaa on” dilatoitu pystysuunnassa kertoimella 2 ”dashed-viivan tuottamiseksi, tai
- dashed-viivaa on” dilatoitu pystysuunnassa kertoimella 0.5 ” tuottaa kiinteän linjan.
molemmat lauseet kuvaavat kuvaajaa tarkasti. Yleisesti kuitenkin funktion määritelmää, joka on yksinkertaisin (algebrallisesti), pidetään ”kantafunktiona”, ja monimutkaisemman näköistä määritelmää kuvataan yksinkertaisemman funktion dilataationa.
esimerkiksi
(kuvioitu alla olevana katkokäyränä) on helpompi analysoida, jos sen näkee liittyvän yksinkertaisempaan ”emokäyrään”:
(kuvioitu alla olevana kiinteänä käyränä), joka on sekä laajentunut että käännetty:
f(x) on laajennettu pystysuunnassa kertoimella 3, sitten käännetty pystysuunnassa luvulla +5 ja vaakasuunnassa luvulla +1, jolloin saadaan g (x).
Origon sininen piste, joka on kiinteän paraabelin kärkipiste, sai y-koordinaatistonsa (0) kerrottuna kolmella ja siihen oli sitten lisätty viisi:
(0) x 3 + 5 = 5
sen jälkeen sitä siirrettiin yksi yksikkö oikealle, jolloin sen x-koordinaatti muuttui 0: sta 1: een. Niin, ”vanhempi” huippupiste, joka oli origossa sijaitsee (1, 5) muunnetussa funktiossa.
kiinteän paraabelin vihreällä pisteellä (2, 4) oli myös Y-koordinaattinsa (4) kerrottuna kolmella ja siihen oli lisätty viisi:
4 x 3 + 5 = 17
se oli sitten siirtynyt yksi yksikkö oikealle, aivan kuten huippupiste oli ,ja että kohta (3, 17) täyttää yhtälö, dashed parabola, g(x).
funktioiden visualisointi yksinkertaisemman ”kantafunktion” käännöksinä ja laajennuksina voi tehdä kompleksisen näköisistä yhtälöistä paljon helpompia tulkita.
huomaa, että negatiivinen dilataatiokerroin aiheuttaa sekä dilataation että heijastuksen akselista. Kaikki dilaatioakselin toisella puolella olleet pisteet heijastuvat akselin toiselle puolelle negatiivisella dilaatiokertoimella.
pystysuuntainen dilataatio
tarkastellaan alla olevaa kiinteää paraabelia, joka edustaa funktiota:
jos se käännetään pystysuunnassa +4: llä niin, että sen kärkipiste liikkuu välillä (0,0) – (0,4), yhtälöstä tulee:
, jota kuvaa alla oleva hajonnut paraabeli. Mitä tapahtuu kuvaajan dashed parabola f (x) jos jokainen termi sen yhtälö on kerrottu kolmella? Viittaamme tämän kertolaskun tulokseen g (x):
huomaa, että voisimme helposti kirjoittaa tämän toisen funktion ensimmäisen suhteen:
määrittelemällä g(x): n tällä tavalla toteamme eksplisiittisesti, että jokainen g(x): n tuottama y-koordinaatti on kolme kertaa vastaava y-koordinaatti F(x): llä. Toisin sanoen g(x) on f (x) laajentuneena pystysuunnassa kertoimella kolme.
jokainen alla olevan g(x) graafin (ylempi, pistemäinen, paraabeli) piste on kolme kertaa kauempana x-akselista kuin vastaava piste f(x):
tämä prosessi toimii mille tahansa funktiolle.
aina kun kantafunktion tulos kerrotaan arvolla, kantafunktio on vertikaalisesti laajentumassa. Jos F(x) on kantafunktio, niin
laajentaa F (x) pystysuunnassa kertoimella ”a”.
sovelletaanpa tätä ajatusta trigonometriseen funktioon:
edellisen kappaleen selityksen perusteella voidaan päätellä, että
edustaa pystysuuntaista dilataatiota -5: llä
jos sovellamme tätä lähestymistapaa toiseen tyyppifunktioon
voit nähdä, että voimme analysoida sen samalla tavalla:
dilatoituneena pystysuunnassa kertoimella k tulee:
soveltamalla tätä lähestymistapaa vielä kompleksinen tilanne:
kantafunktio tässä tapauksessa on
huomaa, että jokainen ”X”: n esiintymä F(X): ssä on ollut (x-1) sen korvaajana, mikä kääntää F(X): n vaakatasossa +1: llä. Sitten tämä tulos kerrottiin 3: lla, mikä aiheutti pystysuuntaisen dilataation kertoimella 3:
alkuperäisen pystysuuntaisen translaation ja y-Interceptin +1 ( F(x): n määritelmän vakiotermi ) vaikuttaa myös pystysuuntaiseen dilataatioon, ja siitä tulee +3 G: ssä(x)… kolme kertaa etäisyys x-akselista, joka se oli alun perin.
viimeinen esimerkki:
kantafunktiota
on laajennettu pystysuunnassa kertoimella +2, käännetty vaakasuunnassa arvolla +7 ja käännetty sitten pystysuunnassa arvolla +3 (sen jälkeen kun sitä on laajennettu pystysuunnassa), jolloin saadaan g (x):
horisontaalinen Dilaatio
palataan kuvaajaan:
mitä tälle kuvaajalle tapahtuu, jos yhtälön jokaista ”x” muutetaan kertomalla yhtälön jokainen ”x” kolmella:
jälleen voidaan kuvata g(x) kompaktimmin, jos teemme sen f(x): llä, mutta tällä kertaa dilaatiokerroin kerrotaan funktion ”tulomuuttujalla” sen ”tuloksen” sijaan (kuten tehtiin pystysuuntaisen dilataation aikaansaamiseksi):
huomaa, että F(X) kulkee pisteen (3,13) läpi. Koska ajattelemme horisontaalisia dilataatioita, kysytään ”Mikä arvo ”x”: llä on oltava, jos g(x) on tuottaa tämä sama lähtö 13?”
koska (3,13) siirtyi (1,13), kertomalla jokainen ”x” F(x): ssä 3 on puristanut kuvaajan vaakasuoraan, jolloin jokainen piste on siirretty kolmannekseen sen edellisestä etäisyydestä y-akselilta.
jos funktion tuloksen kertominen kertoimella aiheuttaa pystysuuntaisen dilataation samalla kertoimella, miksi tulomuuttujan kertominen kertoimella aiheuttaa vaakasuuntaisen dilataation kyseisen kertoimen käänteisarvolla? Kysyä kysymys toisella tavalla, jos käyttämällä kerroin suurempi kuin yksi laajentaa asioita pystysuunnassa, miksi se kutistaa asioita vaakasuoraan? Tämä ero vaikuttaa ensi silmäyksellä intuitiiviselta. Ero johtuu siitä, että pystysuuntaisia dilataatioita tapahtuu, kun Skaalaamme funktion ulostuloa, kun taas vaakasuuntaisia dilataatioita tapahtuu, kun Skaalaamme funktion tuloa.
Alkuperäisen f(x): n ”x”: stä tuli ”3x” G(x): ssä, joten g(x) saavuttaa annetun ”tuloarvon” kolme kertaa nopeammin kuin f(x). ”x”: n täytyy olla vain 1/3 yhtä suuri G: ssä(x), jotta yhtälön tulos olisi sama kuin f(x). Siksi kaikki pisteet g (x) on skaalattu siten, että ne ovat 1/3 siitä etäisyydestä pystyakselin, että ne olivat F(x).
tämä prosessi toimii mille tahansa funktiolle. Aina kun ”emofunktion” tulo kerrotaan arvolla, emofunktiota laajennetaan vaakatasossa. Jos
on kantafunktio, niin
edustaa kantafunktion horisontaalista laajentumista kertoimella ”1 / a”.
soveltaa tätä ajatusta hieman monimutkaisempaan tilanteeseen:
joten
edustaa vaakasuoraa dilataatiota kertoimella 1/5 (pystyakselia kohti)
toisin sanoen F(x): n jakso on, ja G(x): n jakso on
kvadraattifunktion vaakasuuntaiset dilataatiot näyttävät aluksi hieman monimutkaisemmilta, kunnes totut etsimääsi kuvioon:
joten
edustaa vaakadilataatiota kertoimella 2 (pois pystyakselista)
huomaa, että jokainen ”x”: n esiintymä kantafunktiossa on muutettava siten, että se on
, jotta Uusi yhtälö edustaisi kantafunktion vaakadilataatiota kertoimella 2.
tämän lähestymistavan soveltaminen murtolukutilanteeseen:
joten
edustaa vaakasuoraa dilataatiota kertoimella 1 / k
Mitä eroa on?
tarkastellessasi sekä pysty-että vaakasuuntaisia laajentumia, olet ehkä tajunnut, että joidenkin funktioiden, kuten
, kuvaajia voidaan pitää joko pystysuuntaisena laajentumana kertoimella 4 tai vaakasuuntaisena laajentumana kertoimella 1/2. On mielenkiintoista huomata, että molemmilla laajennuksilla, venyttämällä sitä pystysuoraan tai puristamalla sitä vaakasuoraan, on sama lopputulos tälle toiminnolle. Voiko tämä pitää paikkansa myös muissa toiminnoissa? Harkitse seuraavia vastaavia yhtälöitä:
tämä esimerkki osoittaa, että jotkin funktiot voivat muuntua samaan lopputulokseen joko vaakasuoran dilataation, pystysuoran dilataation tai molempien yhdistelmän avulla. Yllä olevassa esimerkissä seuraavat kolme kantafunktion dilataatio – ja käännösjoukkoa tuottavat saman kuvaajan:
1) Dilatoituna vaakasuunnassa kertoimella 1/6, sitten käännettynä vaakasuunnassa arvolla +2. Ei pystysuuntaista laajentumista.
2) laajennettuna vaakatasossa kertoimella 1/3, sitten käännettynä vaakatasossa kertoimella +2. Laajentuneet pystysuunnassa kertoimella 4.
3)ei vaakasuuntaista dilataatiota, vaakatasossa + 2. Laajentunut pystysuunnassa kertoimella 36.
huomaa, miten vaakasuuntaiset käännökset muuttuvat vaakasuuntaisten diluutioiden muuttuessa. Koska vaakasuora dilataatio kutistaa koko kuvaajan pystyakselia kohti, kutistuu kuvaajan vaakamuunnos samalla tekijällä. Koska yllä olevassa esimerkissä alkuperäistä vaakasuuntaista laajentumiskerrointa 1/6 lisätään kertoimella 6 niin, että se on 1 (muuttuu prosessissa pystysuuntaiseksi laajentumiskertoimeksi 36), 12: n alkuperäinen vaakamuunnos kutistuu kertoimella 6 niin, että siitä tulee 2.
mikä kaikista edellä mainituista vaihtoehdoista on ”normaali” tapa kuvata tätä kuvaajaa? Kun sen kuvaamiseen käytetään suositeltua tapaa, on todennäköisempää, että eri ihmiset kuvaavat kuvaajaa samalla tavalla …
”normaali” tapa kuvata dilataatioiden ja käännösten yhdistelmää on muuntaa kaikki dilataatiot pystysuuntaisiksi dilatioiksi manipuloimalla lauseketta niin, että itsenäisellä muuttujalla on kerroin yksi:
tämä yhtälö edustaa siis pystysuuntaista dilataatiota kertoimella 36 ja vaakasuuntaista translaatiota +2 yhtälöstä
jos ei ollut kiinnostunut vertikaalisesta dilataatiosta, vaan ainoastaan horisontaalisesta translaatiosta, pystyi ratkaisemaan itsenäisen muuttujan lausekkeen (ennen kuin mitään eksponenttia sovellettiin) nollalle:
, mikä kertoo, että ”kantafunktio” on käännetty vaakatasossa arvolla +2, Kun kaikki dilataatiot on suoritettu.
Dilaatio akselista poispäin olevien janojen suhteen
joissakin tilanteissa on hyödyllistä laajentaa funktiota suhteessa muuhun vaaka-tai pystyviivaan kuin akseliin. Tämän saavuttamiseksi meidän on:
- Käännä kuvaaja niin, että se osa kuvaajasta, jonka on pysyttävä muuttumattomana dilataation avulla, siirretään akselille
- Dilatoi kuvaaja desimaalilla
- kääntää dilatoitunut funktio takaisin alkuperäiseen sijaintiinsa
Oletetaan, että haluamme laajentaa funktiota f(x) pystysuunnassa kertoimella 3 suunnilleen janan y=2. Yllä olevat vaiheet tuottavat funktiolle f (x) seuraavaa:
Käännä f (x) alas 2, niin että Jana, josta haluamme laajentua, siirtyy X-akselille:
Laajenna käännetty funktio pystysuunnassa kertoimella 3:
nyt ”kumoa” alkuperäinen pystysuuntainen käännös kääntämällä se takaisin ylös 2:
jos kuvaat sekä f (x) että g(x) samassa kuvaajassa, kuten yllä on esitetty, huomaat, että kaksi kuvaajaa leikkaavat toisensa viivalla y=2, joka on linja, josta olemme laajentuneet f(x). Nämä ovat ainoat F(x): n kuvaajan kaksi pistettä, jotka pysyvät muuttumattomina dilataatiolla.
tätä samaa prosessia voidaan seurata luomaan vaakasuoria dilataatioita jonkin pystysuoran viivan ympärille: käännetään funktio vaakasuoraan, sitten laajennetaan se ja käännetään tulos takaisin siihen, mistä se alkoi.
Haluatko pelata?
jos haluat leikkiä pystysuuntaisilla laajentumilla ja nähdä, miten ne toimivat, kokeile jotain seuraavista Geogebra-sovelmista. Ainoa, jonka avulla voit pelata vaaka dilations on viimeinen (Sini-toiminto):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function