Dilatations de fonctions: Comment les reconnaître et les analyser

Cet article a été écrit en 2010. Pour mon approche actuelle de ce sujet, qui utilise des équations de transformation, veuillez suivre ce lien: Transformations de fonction: Dilatation

Cet article explore un type de transformation de fonction: la « dilatation ». Si vous n’êtes pas familier avec la « traduction », qui est un type de transformation plus simple, vous voudrez peut-être lire Traductions de fonctions: Comment les reconnaître et les analyser en premier.

Une fonction a été « dilatée » (notez l’orthographe it elle n’est pas orthographiée ou prononcée « numérotée ») lorsqu’elle a été étirée loin d’un axe ou comprimée vers un axe.

Imaginez un graphique qui a été dessiné sur du papier millimétré élastique et fixé sur une surface solide le long d’un des axes. Maintenant, saisissez le papier élastique avec les deux mains, une main de chaque côté de l’axe qui est fixé à la surface, et éloignez les deux côtés du papier de l’axe. Cela « dilate » le graphique, entraînant l’éloignement de tous les points de l’axe vers un multiple de leur distance initiale de l’axe. À titre d’exemple, considérons le graphique suivant:

Le graphique ci-dessus montre une fonction avant et après une dilatation verticale. Les coordonnées de deux points sur la ligne continue sont affichées, ainsi que les coordonnées des deux points correspondants sur la ligne pointillée, pour vous aider à vérifier que la ligne pointillée est exactement deux fois plus éloignée de l’axe des abscisses que le même point de couleur sur la ligne continue.

L’origine est un point partagé par les deux lignes, et il est utile de noter que la ligne pointillée est toujours « deux fois plus éloignée de l’axe des abscisses » à l’origine, car. Tout point qui satisfait à une définition de fonction et se trouve sur l’axe des abscisses ne bougera pas lorsque la fonction est dilatée verticalement.

Il y a deux façons de décrire la relation entre les deux fonctions représentées ci-dessus. Soit:

• la ligne continue a été « dilatée verticalement d’un facteur 2 » pour produire la ligne pointillée, ou
• la ligne pointillée a été  » dilatée verticalement d’un facteur 0.5″ pour produire la ligne continue.

Les deux instructions décrivent le graphique avec précision. Cependant, en général, la définition de fonction la plus simple (en termes algébriques) sera considérée comme la fonction « parente », la définition plus complexe étant décrite comme une dilatation de la fonction la plus simple.

Par exemple,

(graphié comme la courbe en pointillés ci-dessous), est plus facile à analyser si vous la percevez comme liée à une fonction « parent » plus simple:

(graphié comme la courbe solide ci-dessous) qui a été à la fois dilatée et traduite:

f(x) a été dilatée verticalement d’un facteur 3, puis traduite verticalement de +5 et horizontalement de +1 pour produire g(x).

Le point bleu à l’origine, qui est le sommet de la parabole solide, avait sa coordonnée y (0) multipliée par trois puis en avait ajouté cinq:

(0) x 3 + 5 = 5

Il a ensuite été déplacé d’une unité vers la droite, ce qui a fait passer sa coordonnée X de 0 à 1. Ainsi, le sommet « parent » qui était à l’origine est situé à (1, 5) dans la fonction transformée.

Le point vert sur la parabole solide (2, 4) avait également sa coordonnée y (4) multipliée par trois et en avait ajouté cinq:

4 x 3 + 5 = 17

Il a ensuite été déplacé d’une unité vers la droite, tout comme le sommet, et ce point (3, 17) satisfait l’équation de la parabole en pointillés, g(x).

La visualisation de fonctions en tant que traductions et dilatations d’une « fonction parent » plus simple peut rendre les équations d’apparence complexe beaucoup plus faciles à interpréter.

Notez qu’un facteur de dilatation négatif provoque à la fois une dilatation et une réflexion autour de l’axe. Tous les points qui se trouvaient d’un côté de l’axe de dilatation sont réfléchis de l’autre côté de l’axe par un facteur de dilatation négatif.

Dilatation verticale

Considérons la parabole solide ci-dessous, qui représente la fonction:

Si elle est traduite verticalement par +4, de sorte que son sommet passe de (0,0) à (0,4), l’équation devient:

qui est représentée par la parabole en pointillés ci-dessous. Qu’arrive-t-il au graphique de la parabole en pointillés f (x) si chaque terme de son équation est multiplié par trois? Nous désignerons le résultat de cette multiplication par g(x):

Notez que nous pourrions facilement écrire cette deuxième fonction en termes de la première:

En définissant g(x) de cette façon, nous disons explicitement que chaque coordonnée y produite par g(x) sera trois fois la coordonnée y correspondante sur f(x). En d’autres termes, g(x) est f(x) dilaté verticalement d’un facteur trois.

Chaque point du graphique de g(x) ci-dessous (la parabole supérieure, pointillée) est trois fois plus éloigné de l’axe des abscisses que le point correspondant sur f(x):

Ce processus fonctionne pour n’importe quelle fonction.

Chaque fois que le résultat d’une fonction parent est multiplié par une valeur, la fonction parent est dilatée verticalement. Si f(x) est la fonction parente, alors

dilate f(x) verticalement d’un facteur « a ».

Appliquons cette idée à une fonction trigonométrique:

Sur la base de l’explication du paragraphe précédent, nous pouvons conclure que

représente une dilatation verticale de -5 de

Si nous appliquons cette approche à une autre fonction de type

vous pouvez voir que nous pouvons l’analyser de la même manière:

dilaté verticalement par un facteur de k devient:

En appliquant cette approche à une situation complexe :

La fonction parent dans ce cas est

Notez que chaque instance de « x » dans f(x) lui a été substituée par (x-1), ce qui traduit f(x) horizontalement par +1. Ensuite, ce résultat a été multiplié par 3, provoquant une dilatation verticale d’un facteur 3:

La translation verticale initiale et l’ordonnée à l’origine de +1 (le terme constant dans la définition de f (x)) est également affecté par la dilatation verticale, et devient +3 dans g (x) three trois fois la distance de l’axe des abscisses qu’elle était à l’origine.

Un dernier exemple :

La fonction parent

a été dilatée verticalement d’un facteur +2, traduite horizontalement par +7, puis traduite verticalement par +3 (après avoir été dilatée verticalement), pour produire g(x):

Dilatation horizontale

Revenons au graphique de:

Qu’advient-il de ce graphique si l’équation est modifiée en multipliant chaque « x » de l’équation par trois:

Encore une fois, nous pouvons décrire g(x) de manière plus compacte si nous le faisons en utilisant f(x), mais cette fois le facteur de dilatation est multiplié par la « variable d’entrée » de la fonction au lieu de son « résultat » ( comme cela a été fait pour produire une dilatation verticale) :

Notez que f(x) passe par le point (3,13). Puisque nous pensons aux dilatations horizontales, demandons-nous « Quelle valeur doit avoir « x » si g(x) doit produire cette même sortie de 13? »

Depuis que (3,13) est passé à (1,13), multiplier chaque « x » dans f (x) par 3 a comprimé le graphique horizontalement, chaque point étant déplacé à un tiers de sa distance précédente de l’axe des ordonnées.

Si la multiplication du résultat d’une fonction par un facteur provoque une dilatation verticale par le même facteur, pourquoi la multiplication de la variable d’entrée par un facteur provoque-t-elle une dilatation horizontale par l’inverse de ce facteur? Pour poser la question d’une autre manière, si l’utilisation d’un coefficient supérieur à un dilate les choses verticalement, pourquoi rétrécit-elle les choses horizontalement? Cette différence d’effet semble à première vue contre-intuitive. La différence se produit parce que des dilatations verticales se produisent lorsque nous mettons à l’échelle la sortie d’une fonction, tandis que des dilatations horizontales se produisent lorsque nous mettons à l’échelle l’entrée d’une fonction.

Le « x » dans le f(x) d’origine est devenu un « 3x » dans g(x), donc g(x) atteint une « valeur d’entrée » donnée trois fois plus rapidement que f(x). « x » doit seulement être 1/3 aussi grand en g(x) pour que le résultat de l’équation soit le même que f(x). Par conséquent, tous les points sur g(x) ont été mis à l’échelle pour être au 1/3 de la distance de l’axe vertical qu’ils étaient en f(x).

Ce processus fonctionne pour n’importe quelle fonction. Chaque fois que l’entrée de la « fonction parent » est multipliée par une valeur, la fonction parent est dilatée horizontalement. Si

est la fonction parent, alors

représente une dilatation horizontale de la fonction parent d’un facteur « 1/a ».

Appliquer cette idée à une situation un peu plus complexe:

donc

représente une dilatation horizontale d’un facteur 1/5 (vers l’axe vertical) de

En d’autres termes, la période de f(x) est, et la période de g(x) est

Les dilatations horizontales d’une fonction quadratique semblent un peu plus complexes au début, jusqu’à ce que vous vous habituiez au motif que vous recherchez:

donc

représente une dilatation horizontale d’un facteur 2 (à l’écart de l’axe vertical) de

Notez que chaque instance de « x » dans la fonction parent doit être changée pour être

pour que la nouvelle équation représente une dilatation horizontale du parent d’un facteur 2.

Appliquer cette approche à une situation fractionnaire:

donc

représente une dilatation horizontale d’un facteur 1 / k de

Quelle est la différence?

En considérant les dilatations verticales et horizontales, vous avez peut-être réalisé que les graphiques de certaines fonctions, telles que

, pouvaient être considérés comme une dilatation verticale d’un facteur 4 ou une dilatation horizontale d’un facteur 1/2. Il est intéressant de noter que les deux dilatations, en l’étirant verticalement ou en le serrant horizontalement, ont le même résultat final pour cette fonction. Cela peut-il également être vrai pour d’autres fonctions? Considérons les équations équivalentes suivantes:

Cet exemple démontre que certaines fonctions peuvent être transformées au même résultat final par une dilatation horizontale, une dilatation verticale ou une combinaison des deux. Dans l’exemple ci-dessus, les trois ensembles suivants de dilatations et de translations de la fonction mère produisent le même graphe :
1) Dilaté horizontalement d’un facteur 1/6, puis traduit horizontalement de +2. Pas de dilatation verticale.
2) Dilaté horizontalement d’un facteur 1/3, puis traduit horizontalement de +2. Dilaté verticalement d’un facteur 4.
3) Pas de dilatation horizontale, traduite horizontalement par +2. Dilaté verticalement d’un facteur 36.

Notez comment les translations horizontales changent à mesure que les dilatations horizontales changent. Comme une dilatation horizontale rétrécit l’ensemble du graphique vers l’axe vertical, la translation horizontale du graphique rétrécit du même facteur. Comme le facteur de dilatation horizontale d’origine de 1/6 dans l’exemple ci-dessus est augmenté d’un facteur 6 pour être 1 (devenant converti en un facteur de dilatation verticale de 36 dans le processus), la translation horizontale d’origine de 12 se rétrécit d’un facteur 6 pour devenir 2.

Alors laquelle de toutes les options ci-dessus est la façon « normale » de décrire ce graphique? Avoir une façon préférée de le décrire rendra plus probable que différentes personnes décrivent le graphique de la même manière

La façon « normale » de décrire une combinaison de dilatations et de translations consiste à convertir toutes les dilatations en dilatations verticales en manipulant l’expression de sorte que la variable indépendante ait un coefficient d’un:

Donc cette équation représente une dilatation verticale d’un facteur 36 et une translation horizontale de +2 de l’équation

Si vous n’étiez pas intéressé par la dilatation verticale, mais seulement par la translation horizontale, vous pourriez résoudre l’expression de la variable indépendante (avant d’appliquer un exposant quelconque) pour zéro :

qui nous indique que la « fonction parent » a été traduite horizontalement de +2 après que toutes les dilatations ont été effectuées.

Dilatation Autour de Lignes Éloignées D’Un Axe

Dans certaines situations, il sera utile de dilater une fonction par rapport à une ligne horizontale ou verticale autre que l’axe. Pour y parvenir, nous devons:

1. Traduisez le graphe de sorte que la partie du graphe qui doit rester inchangée par la dilatation soit déplacée vers l’axe
2. Dilatez le graphe de la quantité désirée
3. Ramenez la fonction dilatée à son emplacement d’origine

Supposons que nous souhaitions dilater une fonction f(x) verticalement d’un facteur 3 autour de la droite y = 2. Les étapes ci-dessus produisent ce qui suit pour la fonction f(x) :

Translate f(x) down 2, de sorte que la ligne autour de laquelle nous souhaitons dilater soit déplacée sur l’axe des abscisses :

Dilate verticalement la fonction traduite d’un facteur 3 :

Maintenant « annule » la traduction verticale originale en la traduisant de nouveau vers le haut 2:

Si vous tracez à la fois f(x) et g(x) sur le même graphe, comme indiqué ci-dessus, vous remarquerez que les deux graphes se croisent à la ligne y = 2, qui est la ligne autour de laquelle nous avons dilaté f(x). Ce sont les deux seuls points du graphe de f(x) qui restent inchangés par la dilatation.

Ce même processus peut être suivi pour créer des dilatations horizontales autour d’une ligne verticale: traduisez la fonction horizontalement, puis dilatez-la, puis traduisez le résultat là où il a commencé.

Vous voulez jouer?

Si vous souhaitez jouer avec les dilatations verticales et voir comment elles fonctionnent, essayez l’une des applets Geogebra suivantes. La seule qui vous permet de jouer avec des dilatations horizontales est la dernière (Fonction Sinus):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function