Funktionsdilatationer: hvordan man genkender og analyserer dem

dette indlæg blev skrevet i 2010. For min nuværende tilgang til dette emne, der bruger transformationsligninger, skal du følge dette link: Funktionstransformationer: Dilation

dette indlæg udforsker en type funktionstransformation: “dilation”. Hvis du ikke er bekendt med” oversættelse”, som er en enklere type transformation, kan du læse Funktionsoversættelser: hvordan man genkender og analyserer dem først.

en funktion er blevet “udvidet” (Bemærk stavemåden… den er ikke stavet eller udtalt “dialeret”), når den er strakt væk fra en akse eller komprimeret mod en akse.

Forestil dig en graf, der er tegnet på elastisk grafpapir og fastgjort til en solid overflade langs en af akserne. Tag nu fat i det elastiske papir med begge hænder, den ene hånd på hver side af aksen, der er fastgjort til overfladen, og træk begge sider af papiret væk fra aksen. Dette “udvider” grafen, hvilket får alle punkter til at bevæge sig væk fra aksen til et multiplum af deres oprindelige afstand fra aksen. Som et eksempel på dette skal du overveje følgende graf:

grafen ovenfor viser en funktion før og efter en lodret udvidelse. Koordinaterne for to punkter på den faste linje vises, ligesom koordinaterne for de to tilsvarende punkter på den stiplede linje, for at hjælpe dig med at kontrollere, at den stiplede linje er nøjagtigt dobbelt så langt fra H-aksen som det samme farvepunkt på den faste linje.

oprindelsen er et punkt, der deles af begge linjer, og det er nyttigt at bemærke, at den stiplede linje stadig er “dobbelt så langt fra H-aksen” ved oprindelsen, fordi . Ethvert punkt, der opfylder en funktionsdefinition og ligger på h-aksen, bevæger sig ikke, når funktionen udvides lodret.

der er to måder, vi kan beskrive forholdet mellem de to funktioner, der er tegnet ovenfor. Enten:

• den faste linje er blevet ” udvidet lodret med en faktor på 2 “for at producere den stiplede linje, eller
• den stiplede linje er blevet” udvidet lodret med en faktor på 0.5 ” for at producere den faste linje.

begge udsagn beskriver grafen nøjagtigt. Generelt vil den funktionsdefinition, der er enkleste (i algebraiske termer), imidlertid blive betragtet som “forælder”-funktionen, hvor den mere komplekse definition beskrives som en udvidelse af den enklere funktion.

for eksempel

(tegnet som den stiplede kurve nedenfor), er lettere at analysere, hvis du opfatter det som relateret til en enklere “forælder” – funktion:

(tegnet som den faste kurve nedenfor), som både er udvidet og oversat:

f(H) er blevet udvidet lodret med en faktor på 3, derefter oversat lodret med +5 og vandret med +1 for at producere g(h).

det blå punkt ved oprindelsen, som er toppunktet for den faste parabola, havde sin y-koordinat (0) ganget med tre, så fik fem tilføjet det:

(0) K 3 + 5 = 5

det blev derefter flyttet en enhed til højre, hvilket fik dens røntgenkoordinat til at skifte fra 0 til 1. Så det” overordnede ” toppunkt, der var ved oprindelsen, er placeret på (1, 5) i den transformerede funktion.

det grønne punkt på den faste parabel (2, 4) havde også sin y-koordinat (4) multipliceret med tre og havde fem tilføjet til det:

4 3 + 5 = 17

det blev derefter flyttet en enhed til højre, ligesom toppunktet var, og det punkt (3 ,17) opfylder ligningen af den stiplede parabola, g(h).

visualisering af funktioner som oversættelser og udvidelser af en enklere “forældrefunktion” kan gøre komplekse ligninger meget lettere at fortolke.

bemærk, at en negativ dilatationsfaktor forårsager både en udvidelse og en refleksion om aksen. Alle punkter, der var på den ene side af udvidelsesaksen, reflekteres til den anden side af aksen med en negativ udvidelsesfaktor.

lodret udvidelse

Overvej den faste parabel nedenfor, som repræsenterer funktionen:

hvis den oversættes lodret med +4, så dens toppunkt bevæger sig fra (0,0) til (0,4), bliver ligningen:

som er tegnet af den stiplede parabel nedenfor. Hvad sker der med grafen af den stiplede parabel f (H), hvis hvert udtryk i sin ligning ganges med tre? Vi henviser til resultatet af denne multiplikation som g (H):

Bemærk, at vi let kunne skrive denne anden funktion i form af den første:

ved at definere g(H) på denne måde angiver vi eksplicit, at hver y-koordinat produceret af g(H) vil være tre gange den tilsvarende y-koordinat på f(H). Med andre ord er g(H) F(H) udvidet lodret med en faktor på tre.

hvert punkt på grafen af g(H) nedenfor (den øverste, stiplede, parabola) er tre gange længere væk fra H-aksen end det tilsvarende punkt på f (H)):

denne proces fungerer for enhver funktion.

hver gang resultatet af en overordnet funktion ganges med en værdi, udvides forældrefunktionen lodret. Hvis F(H) er den overordnede funktion, så

udvider F (H) lodret med en faktor på “a”.

lad os anvende denne ide til en trigonometrisk funktion:

baseret på forklaringen i det foregående afsnit kan vi konkludere, at

repræsenterer en lodret udvidelse med -5 på

hvis vi anvender denne tilgang til en anden type funktion

du kan se, at vi kan analysere det på samme måde:

udvidet lodret med en faktor k bliver:

anvendelse af denne tilgang til en endnu mere kompleks situation:

forældrefunktionen i dette tilfælde er

bemærk, at hver forekomst af “H” I F(H) har fået (h-1) erstattet den, hvilket oversætter F(H) vandret med +1. Derefter blev dette resultat ganget med 3, hvilket forårsager en lodret udvidelse med en faktor på 3:

den oprindelige lodrette Oversættelse og y-intercept af +1 ( det konstante udtryk i definitionen af f(H) ) påvirkes også af den lodrette udvidelse og bliver +3 i g(H)… tre gange afstanden fra H-aksen, som den oprindeligt var.

et sidste eksempel:

forældrefunktionen

er blevet udvidet lodret med en faktor på +2, oversat vandret med +7 og derefter oversat lodret med + 3( Efter at være blevet udvidet lodret) for at producere g:

vandret udvidelse

lad os vende tilbage til grafen for:

Hvad sker der med denne graf, hvis ligningen ændres ved at multiplicere hver “h” i ligningen med tre:

endnu en gang kan vi beskrive g(H) mere kompakt, hvis vi gør det ved hjælp af f(H), men denne gang multipliceres udvidelsesfaktoren med funktionens “inputvariabel” i stedet for dens “resultat” (som det en lodret udvidelse):

Bemærk, at F(H) passerer gennem punktet (3,13). Da vi tænker på vandrette dilatationer, lad os spørge “Hvilken værdi skal ‘h’ have, hvis g(H) skal producere samme output på 13?”

siden (3,13) flyttet til (1,13) har multiplikation af hver “h” i f(H) med 3 komprimeret grafen vandret, hvor hvert punkt flyttes til en tredjedel af sin tidligere afstand fra y-aksen.

hvis multiplicering af resultatet af en funktion med en faktor forårsager en lodret udvidelse med den samme faktor, hvorfor multiplicerer inputvariablen med en faktor en vandret udvidelse med den gensidige af denne faktor? Hvis du vil stille spørgsmålet på en anden måde, hvis du bruger en koefficient, der er større end en, udvider tingene lodret, hvorfor krymper det tingene vandret? Denne forskel i effekt virker kontraintuitivt ved første øjekast. Forskellen opstår, fordi lodrette dilatationer opstår, når vi skalerer output fra en funktion, mens vandrette dilatationer opstår, når vi skalerer input fra en funktion.

“h” i den oprindelige f(H) blev en “3H” i g(H), så g(h) når en given “inputværdi” tre gange hurtigere end f(h). “h” skal kun være 1/3 så stor i g (H) for at resultatet af ligningen skal være det samme som f(h). Derfor er alle punkter på g(H) skaleret til at være 1/3 af afstanden fra den lodrette akse, som de var i f (H).

denne proces fungerer for enhver funktion. Når som helst indgangen til” forældrefunktionen ” ganges med en værdi, udvides forældrefunktionen vandret. Hvis

er forældrefunktionen, repræsenterer

en vandret udvidelse af forældrefunktionen med en faktor på “1/a”.

Anvend denne ide til en lidt mere kompleks situation:

så

repræsenterer en vandret udvidelse med en faktor på 1/5 (mod den lodrette akse) på

med andre ord er perioden for f(H), og perioden for g(H) er

vandrette dilatationer af en kvadratisk funktion ser lidt mere komplekse ud i starten, indtil du bliver vant til det mønster, du leder efter:

så

repræsenterer en vandret udvidelse med en faktor 2 (væk fra den lodrette akse) på

Bemærk, at hver forekomst af “H” i forældrefunktionen skal ændres til

for at den nye ligning skal repræsentere en vandret udvidelse af forældrefunktionen med en faktor 2.

anvendelse af denne tilgang til en fraktioneret situation:

så

repræsenterer en vandret udvidelse med en faktor på 1/k

Hvad er forskellen?

når du overvejer både lodrette og vandrette udvidelser, har du måske indset, at graferne for nogle funktioner, såsom

, kunne betragtes som enten en lodret udvidelse med en faktor 4 eller en vandret udvidelse med en faktor 1/2. Det er interessant at bemærke, at begge dilatationer, der strækker det lodret eller klemmer det vandret, har det samme slutresultat for denne funktion. Kan dette også være tilfældet for andre funktioner? Overvej følgende ækvivalente ligninger:

dette eksempel viser, at nogle funktioner kan omdannes til det samme slutresultat ved enten en vandret udvidelse, en lodret udvidelse eller en kombination af begge. I eksemplet ovenfor producerer de følgende tre sæt dilatationer og oversættelser af forældrefunktionen den samme graf:
1) udvidet vandret med en faktor på 1/6 og derefter oversat vandret med +2. Ingen lodret udvidelse.
2) udvidet vandret med en faktor på 1/3, derefter oversat vandret med +2. Udvidet lodret med en faktor på 4.
3) ingen vandret udvidelse, oversat vandret med +2. Udvidet lodret med en faktor på 36.

bemærk, hvordan de vandrette oversættelser ændres, når de vandrette udvidelser ændres. Da en vandret udvidelse krymper hele grafen mod den lodrette akse, krymper grafens vandrette oversættelse med den samme faktor. Da den oprindelige vandrette dilatationsfaktor på 1/6 i eksemplet ovenfor øges med en faktor på 6 til at være 1 (omdannes til en lodret dilatationsfaktor på 36 i processen), krymper den oprindelige vandrette oversættelse af 12 med en faktor på 6 for at blive 2.

så hvilken af alle ovenstående muligheder er den “normale” måde at beskrive denne graf på? At have en foretrukken måde at beskrive det på vil gøre det mere sandsynligt, at forskellige mennesker vil beskrive grafen på samme måde…

den “normale” måde at beskrive en kombination af dilatationer og oversættelser på er at konvertere alle dilatationer til lodrette dilatationer ved at manipulere udtrykket, så den uafhængige variabel har en koefficient på en:

så denne ligning repræsenterer en lodret udvidelse med en faktor på 36 og en vandret oversættelse af +2 af ligningen

hvis du ikke var interesseret i den lodrette udvidelse, men kun i den vandrette oversættelse, kunne du løse det uafhængige variable udtryk (før du anvender en eksponent) for nul:

som fortæller os, at “forældrefunktionen” er blevet oversat vandret med +2, efter at alle udvidelser er udført.

udvidelse omkring linjer væk fra en akse

i nogle situationer vil det være nyttigt at udvide en funktion i forhold til en anden vandret eller lodret linje end aksen. For at opnå dette skal vi:

1. Oversæt grafen, så den del af grafen, der skal forblive uændret ved udvidelsen, flyttes til aksen
2. Udvid grafen med ønsket beløb
3. Oversæt den udvidede funktion tilbage til dens oprindelige placering

Antag, at vi ønsker at udvide en funktion f(h) lodret med en faktor på 3 om linjen y=2. Ovenstående trin giver følgende for funktionen f (h):

Oversæt f(H) ned 2, så den linje, som vi ønsker at udvide, flyttes til H-aksen:

Udvid den oversatte funktion lodret med en faktor på 3:

“Fortryd” nu den originale lodrette oversættelse ved at oversætte den tilbage 2:

hvis du tegner både f (H) og g(H) på den samme graf, som vist ovenfor, vil du bemærke, at de to grafer skærer hinanden ved linjen y=2, som er den linje, som vi udvidede f(H). Det er de eneste to punkter på grafen for f(H), der forbliver uændrede ved udvidelsen.

den samme proces kan følges for at oprette vandrette dilatationer om en lodret linje: oversæt funktionen vandret, udvid den derefter, og oversæt derefter resultatet tilbage til, hvor det startede.

vil du spille?

hvis du gerne vil lege med lodrette dilatationer og se, hvordan de fungerer, kan du prøve en af følgende Geogebra-applets. Den eneste, der lader dig spille med vandrette dilatationer, er den sidste (sinusfunktion):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function