funkció dilatációk: hogyan ismerjük fel és elemezzük őket

ezt a bejegyzést 2010-ben írták. A téma jelenlegi megközelítéséhez, amely transzformációs egyenleteket használ, kérjük, kövesse ezt a linket: Függvénytranszformációk: dilatáció

ez a bejegyzés a függvénytranszformáció egyik típusát vizsgálja: “dilatáció”. Ha nem ismeri a” fordítást”, ami egy egyszerűbb transzformációs típus, érdemes elolvasni a Függvényfordításokat: hogyan ismerjük fel és elemezzük őket először.

egy függvény “kitágult” (vegye figyelembe a helyesírást… nincs írva vagy kiejtve “dialált”), ha egy tengelytől el van nyújtva vagy egy tengely felé van összenyomva.

Képzeljünk el egy grafikont, amelyet rugalmas grafikonpapírra rajzoltunk, és az egyik tengely mentén szilárd felületre rögzítettünk. Most fogja meg a rugalmas papírt mindkét kezével, egyik kezével a felülethez rögzített tengely mindkét oldalán, majd húzza el a papír mindkét oldalát a tengelytől. Ezzel “kitágítja” a grafikont, aminek következtében az összes pont eltávolodik a tengelytől az eredeti tengelytől való távolságának többszöröséig. Példaként vegye figyelembe a következő grafikont:

a fenti grafikon egy függvényt mutat a függőleges dilatáció előtt és után. A folytonos vonal két pontjának koordinátái jelennek meg, csakúgy, mint a szaggatott vonal két megfelelő pontjának koordinátái, amelyek segítenek ellenőrizni, hogy a szaggatott vonal pontosan kétszer olyan messze van-e az x tengelytől, mint a folytonos vonal azonos színpontja.

az Origó egy pont, amelyet mindkét vonal megoszt, és hasznos megjegyezni, hogy a szaggatott vonal még mindig “kétszer olyan messze van az X tengelytől” az Origónál, mert . Bármely pont, amely megfelel a függvény definíciójának, és az x tengelyen fekszik, nem mozog, ha a függvény függőlegesen tágul.

kétféle módon írhatjuk le a fent ábrázolt két függvény kapcsolatát. Vagy:

• a folytonos vonalat ” függőlegesen 2 – szeresére tágítottuk “a szaggatott vonal előállításához, vagy
• a szaggatott vonalat” függőlegesen 0-szeresére tágítottuk.5 ” a folytonos vonal előállításához.

mindkét állítás pontosan leírja a grafikont. Általában azonban a legegyszerűbb (algebrai értelemben vett) függvénydefiníciót “szülő” függvénynek tekintjük, a bonyolultabb kinézetű definíciót az egyszerűbb függvény tágulásaként írják le.

például

(az alábbi szaggatott görbével ábrázolva) könnyebben elemezhető, ha egy egyszerűbb “szülő” függvényhez kapcsolódik:

(az alábbi szilárd görbeként ábrázolva), amelyet mind kitágítottak, mind lefordítottak:

f(x) függőlegesen 3-szorosára tágult, majd függőlegesen +5-tel, vízszintesen +1-gyel lefordítva g(x).

a kiindulási kék pont, amely a szilárd parabola csúcsa, y-koordinátáját (0) megszorozta hárommal, majd ötöt adott hozzá:

(0) x 3 + 5 = 5

ezután egy egységet jobbra toltak, aminek következtében x-koordinátája 0-ról 1-re változott. Tehát a” szülő ” csúcs, amely az eredetnél volt, a transzformált függvényben (1, 5) található.

a szilárd parabola (2, 4) zöld pontjának y-koordinátáját (4) is megszoroztuk hárommal, és ötöt adtunk hozzá:

4 x 3 + 5 = 17

ezután egy egységgel jobbra tolódott, akárcsak a csúcs, és ez a pont(3 ,17) kielégíti a szaggatott parabola egyenletét, g (x).

ha a függvényeket egy egyszerűbb “szülőfüggvény” fordításaként és dilatációjaként vizualizáljuk, az összetett kinézetű egyenletek sokkal könnyebben értelmezhetők.

vegye figyelembe, hogy a negatív dilatációs tényező mind a tágulást, mind a tengely körüli visszaverődést okozza. Minden olyan pont, amely a dilatációs tengely egyik oldalán volt, negatív dilatációs tényezővel tükröződik a tengely másik oldalán.

függőleges dilatáció

Tekintsük az alábbi szilárd parabolát, amely a függvényt képviseli:

ha függőlegesen +4 fordítja le, úgy, hogy csúcsa (0,0) – ről (0,4) – re mozog, az egyenlet:

amelyet az alábbi szaggatott parabola ábrázol. Mi történik az F(x) szaggatott parabola gráfjával, ha az egyenletében szereplő minden kifejezést megszorozzuk hárommal? Ennek a szorzásnak az eredményére hivatkozunk g(x):

vegye figyelembe, hogy ezt a második függvényt könnyen írhatjuk az első szempontjából:

meghatározásával g(x) ily módon kifejezetten kijelentjük, hogy minden g(x) által előállított y-koordináta háromszorosa lesz a megfelelő y-koordinátának f(x). Más szavakkal, g (x) az F (x) függőlegesen három tényezővel tágul.

az alábbi g(x) grafikon minden pontja (a felső, pontozott, parabola) háromszor távolabb van az x tengelytől, mint a megfelelő pont f (x):

ez a folyamat bármely funkcióhoz működik.

minden alkalommal, amikor egy szülő függvény eredményét megszorozzuk egy értékkel, a szülő függvény függőlegesen kitágul. Ha f (x) a szülőfüggvény, akkor

függőlegesen tágítja az f(x) – et “a”tényezővel.

alkalmazzuk ezt az ötletet egy trigonometrikus függvényre:

az előző bekezdésben szereplő magyarázat alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy

függőleges tágulást jelent -5

ha ezt a megközelítést egy másik típusú függvényre alkalmazzuk

láthatja, hogy ugyanúgy elemezhetjük:

függőlegesen kitágítva k tényezővel válik:

ezt a megközelítést alkalmazva még több összetett helyzet:

a szülőfüggvény ebben az esetben

vegye figyelembe, hogy az “X” minden példánya F(X)-ben (x-1) helyettesítette, ami lefordítja F(X) vízszintesen +1-gyel. Ezután ezt az eredményt megszoroztuk 3-mal, ami függőleges dilatációt okozott 3-as tényezővel:

a +1 eredeti függőleges fordítását és y-metszését(az állandó kifejezés az f(x) definíciójában ) szintén befolyásolja a függőleges dilatáció, és +3 lesz g (x)-ben… háromszor akkora távolság az X tengelytől, mint eredetileg.

egy utolsó példa:

a szülő függvény

függőlegesen kitágult + 2-es tényezővel, vízszintesen lefordítva +7-gyel, majd függőlegesen lefordítva +3-mal (függőleges kitágulás után), hogy g (x):

vízszintes dilatáció

térjünk vissza a következő grafikonhoz:

mi történik ezzel a grafikonnal, ha az egyenletet úgy változtatjuk meg, hogy az egyenlet minden “x” – jét megszorozzuk hárommal:

ismét kompaktabban írhatjuk le g(x) – t, ha ezt f(x) használatával tesszük, azonban ezúttal a dilatációs tényezőt megszorozzuk a függvény “bemeneti változójával” az “eredmény” helyett (mint a függőleges dilatáció előállításához):

vegye figyelembe, hogy F(X) áthalad a (3,13) ponton. Mivel vízszintes dilatációkra gondolunk, kérdezzük meg: “milyen értékkel kell rendelkeznie az” x ” – nek, ha g(x) ugyanazt a 13-as kimenetet állítja elő?”

mivel (3,13) (1,13)-ba költözött, az f(x) minden “x” – jét 3-mal megszorozva vízszintesen összenyomta a gráfot, minden pontot az y tengelytől való korábbi távolságának egyharmadára mozgatva.

ha egy függvény eredményének szorzata egy tényezővel vertikális tágulást okoz ugyanazzal a tényezővel, akkor miért okoz a bemeneti változó szorzata egy tényezővel vízszintes tágulást az adott tényező reciprokával? Más módon feltenni a kérdést, ha egynél nagyobb együtthatót használunk függőlegesen tágítja a dolgokat, miért zsugorítja vízszintesen a dolgokat? Ez a különbség első pillantásra ellentmondásosnak tűnik. A különbség azért következik be, mert függőleges dilatációk akkor fordulnak elő, amikor egy függvény kimenetét méretezzük, míg vízszintes dilatációk akkor fordulnak elő, amikor egy függvény bemenetét méretezzük.

az “X” az eredeti f(x) – ben “3x” lett g(x) – ben, így g(x) háromszor gyorsabban ér el egy adott “bemeneti értéket”, mint f(x). az” x ” – nek csak 1/3-nak kell lennie g(x) – ben, hogy az egyenlet eredménye megegyezzen f(x) – vel. Ezért a g(x) összes pontját úgy méreteztük, hogy a függőleges tengelytől való távolság 1/3-a Legyen f(x).

ez a folyamat bármely funkciónál működik. Bármikor, amikor a “szülő függvény” bemenetét megszorozzuk egy értékkel, a szülő függvény vízszintesen kitágul. Ha

a szülőfüggvény, akkor

a szülőfüggvény vízszintes tágulását jelenti “1/a”tényezővel.

alkalmazza ezt az ötletet egy kissé összetettebb helyzetre:

tehát

vízszintes dilatációt jelent 1/5-ös tényezővel (a függőleges tengely felé)

más szavakkal , az F(x) periódusa, és a g(x) periódusa

a másodfokú függvény vízszintes dilatációi eleinte kissé összetettebbnek tűnnek, amíg megszokja a keresett mintát:

tehát

jelentése vízszintes dilatáció 2-szeresére (a függőleges tengelytől távol)

vegye figyelembe, hogy az “X” minden példányát a szülőfüggvényben

– re kell változtatni, hogy az új egyenlet a szülő vízszintes dilatációját 2-szeresére képviselje.

ezt a megközelítést alkalmazva egy frakcionált helyzetre:

tehát a

vízszintes tágulást jelent 1/k szorzóval

mi a különbség?

mind a függőleges, mind a vízszintes dilatációk szemlélésekor rájöhetett, hogy egyes függvények grafikonjai, mint például a

, vagy függőleges dilatációnak tekinthetők 4-szeresére, vagy vízszintes dilatációnak 1/2-szeresére. Érdekes megjegyezni, hogy mindkét dilatációnak, függőlegesen nyújtva vagy vízszintesen összenyomva, ugyanaz a végeredménye ennek a funkciónak. Igaz lehet ez más funkciókra is? Tekintsük a következő egyenértékű egyenleteket:

ez a példa azt mutatja, hogy egyes funkciók vízszintes dilatációval, függőleges dilatációval vagy mindkettő kombinációjával ugyanahhoz a végeredményhez alakíthatók át. A fenti példában a szülőfüggvény következő három dilatációja és fordítása ugyanazt a gráfot eredményezi:
1) vízszintesen kitágítva 1/6-os tényezővel, majd vízszintesen lefordítva +2-vel. Nincs függőleges tágulás.
2) vízszintesen kitágult 1/3-as tényezővel, majd vízszintesen lefordítva +2-vel. Függőlegesen 4-szeresére tágult.
3) nincs vízszintes dilatáció, vízszintesen lefordítva +2-vel. Függőlegesen 36-szorosára tágult.

vegye figyelembe, hogy a vízszintes fordítások hogyan változnak a vízszintes dilatációk változásával. Mivel a vízszintes dilatáció az egész gráfot a függőleges tengely felé zsugorítja, a gráf vízszintes transzlációja ugyanezzel a tényezővel zsugorodik. Mivel a fenti példában az eredeti 1/6-os vízszintes dilatációs tényezőt 6-szorosára növeljük 1-re (a folyamat során 36-os függőleges dilatációs tényezővé alakítjuk), a 12 eredeti vízszintes transzlációja 6-szorosára zsugorodik, hogy 2-vé váljon.

tehát a fenti lehetőségek közül melyik a “normál” módszer a grafikon leírására? Ha előnyben részesítjük annak leírását, akkor valószínűbbé válik, hogy a különböző emberek ugyanúgy írják le a grafikont…

a dilatációk és fordítások kombinációjának leírásának “normális” módja az, hogy az összes dilatációt függőleges dilatációvá alakítjuk a kifejezés manipulálásával úgy, hogy a független változó együtthatója egy:

tehát ez az egyenlet 36-szoros függőleges tágulást és +2 vízszintes fordítását jelenti

ha nem érdekli a függőleges dilatáció, hanem csak a vízszintes fordítás, akkor megoldhatja a független változó kifejezést (bármely kitevő alkalmazása előtt) nullára:

ami azt mondja nekünk, hogy a “szülő függvényt” vízszintesen +2-vel fordították le, miután az összes dilatációt elvégezték.

dilatáció a tengelytől távol eső vonalakról

bizonyos helyzetekben hasznos lesz egy függvényt a tengelytől eltérő vízszintes vagy függőleges vonalhoz viszonyítva kitágítani. Ennek eléréséhez szükségünk van:

1. fordítsuk le a gráfot úgy, hogy a gráf azon része, amely változatlan marad a dilatációval, a tengelyre kerüljön
2. tágítsuk ki a gráfot a vágy összegével
3. fordítsuk vissza a dilatált függvényt az eredeti helyére

tegyük fel, hogy egy f(x) függvényt függőlegesen 3-szorosával szeretnénk kitágítani az y=2 vonal körül. A fenti lépések a következőket eredményezik az f(x) függvényhez:

fordítsd le az f(x) – T 2-re úgy, hogy az a vonal, amelyről kitágulni akarunk, az x tengelyre kerül:

a lefordított függvényt függőlegesen 3-as tényezővel tágítsd ki:

most” vonja vissza ” az eredeti függőleges fordítást azáltal, hogy visszafordítja 2:

ha mind az f(x), mind a g(x) gráfot ugyanazon a gráfon ábrázoljuk, amint az fent látható, akkor megjegyezzük, hogy a két gráf metszi egymást az y=2 vonalon, amely az a vonal, amelyről kitágítottuk f(x). Ez az egyetlen két pont az F(x) grafikonján, amely változatlan marad a dilatációval.

ugyanez a folyamat követhető vízszintes dilatációk létrehozásához néhány függőleges vonal körül: fordítsa le a funkciót vízszintesen, majd tágítsa ki, majd fordítsa vissza az eredményt oda, ahol elindult.

akarsz játszani?

ha függőleges dilatációkkal szeretne játszani, és látni szeretné, hogyan működnek, próbálja ki az alábbi Geogebra kisalkalmazások bármelyikét. Az egyetlen, amely lehetővé teszi a vízszintes dilatációkkal való játékot, az utolsó (szinusz funkció):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function