Dilatazione delle funzioni: come riconoscerle e analizzarle

Questo post è stato scritto nel 2010. Per il mio attuale approccio a questo argomento, che utilizza equazioni di trasformazione, segui questo link: Trasformazioni di funzione: Dilatazione

Questo post esplora un tipo di trasformazione di funzione: “dilatazione”. Se non hai familiarità con la “traduzione”, che è un tipo di trasformazione più semplice, potresti voler leggere le traduzioni delle funzioni: come riconoscerle e analizzarle prima.

Una funzione è stata ” dilatata “(nota l’ortografia-non è scritta o pronunciata” dialata”) quando è stata allungata da un asse o compressa verso un asse.

Immagina un grafico disegnato su carta millimetrata elastica e fissato a una superficie solida lungo uno degli assi. Ora afferrare la carta elastica con entrambe le mani, una mano su ciascun lato dell’asse fissato alla superficie e tirare entrambi i lati della carta lontano dall’asse. In questo modo” dilata ” il grafico, facendo sì che tutti i punti si allontanino dall’asse a un multiplo della loro distanza originale dall’asse. Ad esempio, considera il seguente grafico:

Il grafico sopra mostra una funzione prima e dopo una dilatazione verticale. Vengono mostrate le coordinate di due punti sulla linea continua, così come le coordinate dei due punti corrispondenti sulla linea tratteggiata, per verificare che la linea tratteggiata sia esattamente due volte più lontana dall’asse x dello stesso punto di colore sulla linea continua.

L’origine è un punto condiviso da entrambe le linee, ed è utile notare che la linea tratteggiata è ancora “due volte più lontana dall’asse x” all’origine, perché . Qualsiasi punto che soddisfi una definizione di funzione e si trovi sull’asse x non si muoverà quando la funzione è dilatata verticalmente.

Ci sono due modi in cui possiamo descrivere la relazione tra le due funzioni illustrate sopra. O:

• la linea continua è stata “dilatata verticalmente di un fattore 2” per produrre la linea tratteggiata, o
• la linea tratteggiata è stata ” dilatata verticalmente di un fattore 0.5″ per produrre la linea continua.

Entrambe le istruzioni descrivono il grafico in modo accurato. Tuttavia, in generale la definizione di funzione che è più semplice (in termini algebrici) sarà considerata la funzione “genitore”, con la definizione più complessa che viene descritta come una dilatazione della funzione più semplice.

Ad esempio,

(graficamente come la curva tratteggiata sotto), è più facile da analizzare se la percepisci come correlata a una funzione “genitore” più semplice:

(graficamente come la curva solida sotto) che è stata sia dilatata che tradotta:

f(x) è stato dilatato verticalmente di un fattore 3, quindi tradotto verticalmente di +5 e orizzontalmente di +1 per produrre g(x).

Il punto blu all’origine, che è il vertice della parabola solida, aveva la sua coordinata y (0) moltiplicata per tre, quindi ne aveva aggiunti cinque:

(0) x 3 + 5 = 5

È stato quindi spostato di un’unità a destra, facendo cambiare la sua coordinata x da 0 a 1. Quindi, il vertice “genitore” che era all’origine si trova a (1, 5) nella funzione trasformata.

Il punto verde sulla parabola solida (2, 4) aveva anche la sua coordinata y (4) moltiplicata per tre e ne aveva aggiunti cinque:

4 x 3 + 5 = 17

È stato quindi spostato di un’unità a destra, proprio come il vertice era, e quel punto(3 ,17) soddisfa l’equazione della parabola tratteggiata, g (x).

La visualizzazione di funzioni come traduzioni e dilatazioni di una “funzione genitore” più semplice può rendere le equazioni dall’aspetto complesso molto più facili da interpretare.

Si noti che un fattore di dilatazione negativo provoca sia una dilatazione che una riflessione sull’asse. Tutti i punti che si trovavano su un lato dell’asse di dilatazione sono riflessi sull’altro lato dell’asse da un fattore di dilatazione negativo.

Dilatazione verticale

Considera la parabola solida sottostante, che rappresenta la funzione:

Se viene tradotta verticalmente da +4, in modo che il suo vertice si sposti da (0,0) a (0,4), l’equazione diventa:

che è graficamente dalla parabola tratteggiata sottostante. Cosa succede al grafico della parabola tratteggiata f (x) se ogni termine nella sua equazione viene moltiplicato per tre? Ci riferiremo al risultato di questa moltiplicazione come g (x):

Si noti che potremmo facilmente scrivere questa seconda funzione in termini di prima:

Definendo g(x) in questo modo, stiamo esplicitamente affermando che ogni coordinata y prodotta da g(x) sarà tre volte la coordinata y corrispondente su f (x). In altre parole, g(x) è f (x) dilatato verticalmente di un fattore tre.

Ogni punto sul grafico di g(x) sotto (la parabola superiore, punteggiata,) è tre volte più lontano dall’asse x rispetto al punto corrispondente su f (x):

Questo processo funziona per qualsiasi funzione.

Ogni volta che il risultato di una funzione genitore viene moltiplicato per un valore, la funzione genitore viene dilatata verticalmente. Se f(x) è la funzione genitore, allora

dilata f (x) verticalmente di un fattore “a”.

Applichiamo questa idea a una funzione trigonometrica:

Basato sulla spiegazione nel paragrafo precedente, si può concludere che

rappresenta una dilatazione verticale da -5 di

Se si applica questo approccio per un altro tipo di funzione

si può vedere che siamo in grado di analizzare allo stesso modo:

dilatato in verticale di un fattore k diventa:

Applicazione di questo approccio ancora più complessa la situazione:

La funzione di padre in questo caso è

Nota che ogni istanza di “x” in f(x) ha avuto (x-1) sostituito, che si traduce f(x) orizzontalmente da +1. Quindi questo risultato è stato moltiplicato per 3, causando una dilatazione verticale di un fattore 3:

L’originale traslazione verticale e l’intercetta y +1 ( il termine costante nella definizione di f(x) ) è influenzato anche dalla dilatazione verticale, e diventa +3 g(x)… tre volte la distanza tra l’asse x che era in origine.

Un ultimo esempio:

La funzione genitore

è stata dilatata verticalmente di un fattore +2, tradotta orizzontalmente di +7, e poi tradotta verticalmente di +3 (dopo essere stata dilatata verticalmente), per produrre g(x):

Orizzontale Dilatazione

torniamo al grafico di:

Cosa succede a questo grafico, se l’equazione è cambiato moltiplicando ogni “x” nell’equazione tre:

ancora una Volta, siamo in grado di descrivere g(x) più compatto se abbiamo a che fare con f(x), tuttavia questa volta il fattore di dilatazione viene moltiplicato per la funzione “input variabile” invece che con il suo “risultato” (come è stato fatto per produrre una dilatazione verticale):

si noti che f(x) passante per il punto (3,13). Dato che stiamo pensando alle dilatazioni orizzontali, chiediamo “Quale valore deve avere’ x ‘ se g (x) deve produrre lo stesso output di 13?”

Poiché (3,13) si è spostato su (1,13), moltiplicando ogni “x” in f(x) per 3 ha compresso il grafico orizzontalmente, con ogni punto spostato a un terzo della sua distanza precedente dall’asse y.

Se moltiplicare il risultato di una funzione per un fattore provoca una dilatazione verticale per lo stesso fattore, perché moltiplicare la variabile di input per un fattore causa una dilatazione orizzontale per il reciproco di quel fattore? Per porre la domanda in un altro modo, se si utilizza un coefficiente maggiore di uno espande le cose verticalmente, perché restringe le cose orizzontalmente? Questa differenza in effetti sembra contro-intuitiva a prima vista. La differenza si verifica perché le dilatazioni verticali si verificano quando scaliamo l’output di una funzione, mentre le dilatazioni orizzontali si verificano quando scaliamo l’input di una funzione.

La ” x “nell’originale f(x) è diventata una” 3x “in g(x), quindi g(x) raggiunge un dato” valore di input ” tre volte più veloce di f(x). “x” deve essere solo 1/3 grande in g(x) perché il risultato dell’equazione sia uguale a f(x). Pertanto, tutti i punti su g(x) sono stati ridimensionati per essere 1/3 della distanza dall’asse verticale che erano in f (x).

Questo processo funziona per qualsiasi funzione. Ogni volta che l’input della “funzione genitore” viene moltiplicato per un valore, la funzione genitore viene dilatata orizzontalmente. Se

è la funzione genitore, allora

rappresenta una dilatazione orizzontale della funzione genitore di un fattore “1/a”.

Applica questa idea a una situazione leggermente più complessa:

così

rappresenta una dilatazione orizzontale di un fattore di 1/5 (verso l’asse verticale) di

In altre parole, il periodo di f(x), e il periodo di g(x)

dilatazioni Orizzontali di una funzione quadratica guardare un po ‘ più complesso del primo, fino a quando ti sei abituato al modello che si sta cercando:

quindi

rappresenta una dilatazione orizzontale di un fattore 2 (lontano dall’asse verticale) di

Si noti che ogni istanza di “x” nella funzione genitore deve essere modificata per essere

affinché la nuova equazione rappresenti una dilatazione orizzontale del genitore di un fattore 2.

Applicando questo approccio a una situazione frazionaria:

quindi

rappresenta una dilatazione orizzontale di un fattore di 1 / k di

Qual è la differenza?

Nel contemplare le dilatazioni sia verticali che orizzontali, potresti aver capito che i grafici di alcune funzioni, come

potrebbero essere considerati una dilatazione verticale di un fattore 4 o una dilatazione orizzontale di un fattore 1/2. È interessante notare che entrambe le dilatazioni, allungandole verticalmente o schiacciandole orizzontalmente, hanno lo stesso risultato finale per questa funzione. Questo può essere vero anche per altre funzioni? Considera le seguenti equazioni equivalenti:

Questo esempio dimostra che alcune funzioni possono essere trasformate allo stesso risultato finale mediante una dilatazione orizzontale, una dilatazione verticale o una combinazione di entrambe. Nell’esempio sopra, le seguenti tre serie di dilatazioni e traduzioni della funzione genitore producono lo stesso grafico:
1) Dilatato orizzontalmente di un fattore di 1/6, quindi tradotto orizzontalmente di +2. Nessuna dilatazione verticale.
2) Dilatato orizzontalmente di un fattore di 1/3, quindi tradotto orizzontalmente di +2. Dilatato verticalmente di un fattore 4.
3) Nessuna dilatazione orizzontale, tradotta orizzontalmente da +2. Dilatato verticalmente di un fattore di 36.

Nota come cambiano le traduzioni orizzontali al variare delle dilatazioni orizzontali. Poiché una dilatazione orizzontale riduce l’intero grafico verso l’asse verticale, la traduzione orizzontale del grafico si riduce dello stesso fattore. Poiché il fattore di dilatazione orizzontale originale di 1/6 nell’esempio sopra è aumentato di un fattore di 6 per essere 1 (diventando convertito in un fattore di dilatazione verticale di 36 nel processo), la traduzione orizzontale originale di 12 si restringe di un fattore di 6 per diventare 2.

Quindi quale di tutte le opzioni di cui sopra è il modo” normale ” di descrivere questo grafico? Avere un modo preferito di descriverlo renderà più probabile che persone diverse descriveranno il grafico nello stesso modo

Il modo “normale” di descrivere una combinazione di dilatazioni e traduzioni è convertire tutte le dilatazioni in dilatazioni verticali manipolando l’espressione in modo che la variabile indipendente abbia un coefficiente di uno:

Quindi questa equazione rappresenta una dilatazione verticale di un fattore di 36 e una traslazione orizzontale di +2 di equazione

Se non siete interessati in verticale di dilatazione, ma solo in orizzontale traduzione, si potrebbe risolvere la variabile indipendente di espressione (prima di applicare qualsiasi esponente) per zero:

che ci dice che la “funzione principale” è stato tradotto in orizzontale da +2 dopo tutte le dilatazioni sono stati effettuati.

Dilatazione Su Linee Lontane da un Asse

In alcune situazioni sarà utile dilatare una funzione rispetto ad una linea orizzontale o verticale diversa dall’asse. Per raggiungere questo obiettivo, abbiamo bisogno di:

1. Tradurre il grafico in modo che la parte del grafico che rimane invariata la dilatazione è spostato l’asse
2. Dilatare il grafico dal desiderio di importo
3. Tradurre dilatati funzione torna alla sua posizione originale

Supponiamo di voler dilatare una funzione f(x) verticale di un fattore 3 la retta y=2. La procedura di cui sopra producono i seguenti per la funzione f(x):

Tradurre f(x) in calo del 2, in modo che la linea su cui si desidera dilatare è spostato sull’asse x:

Dilatare tradotto funzione in verticale di un fattore 3:

Ora di “annullare” l’originale traslazione verticale da tradurre di nuovo 2:

Se si grafico sia f(x) e g(x) sullo stesso grafico, come mostrato sopra, si nota che i due grafici si intersecano l’un l’altro in linea di y=2, che è la linea su cui abbiamo dilatato f(x). Questi sono gli unici due punti sul grafico di f (x) che rimangono invariati dalla dilatazione.

Questo stesso processo può essere seguito per creare dilatazioni orizzontali su una linea verticale: tradurre la funzione orizzontalmente, quindi dilatarla, quindi riportare il risultato al punto di partenza.

Vuoi giocare?

Se vuoi giocare con le dilatazioni verticali e vedere come funzionano, prova una delle seguenti applet Geogebra. L’unico che ti permette di giocare con le dilatazioni orizzontali è l’ultimo (Funzione Seno):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function