Funksjonsdilatasjoner: hvordan gjenkjenne og analysere dem

dette innlegget ble skrevet i 2010. For min nåværende tilnærming til dette emnet, som bruker transformasjonsligninger, følg denne lenken: Funksjonstransformasjoner: Dilatasjon

dette innlegget utforsker en type funksjonstransformasjon: «dilatasjon». Hvis du ikke er kjent med «oversettelse», som er en enklere type transformasjon, kan Det være lurt å lese Funksjonsoversettelser: hvordan gjenkjenne og analysere dem først.

en funksjon har blitt «utvidet» (merk stavemåten… den er ikke stavet eller uttalt «dialert») når den har blitt strukket bort fra en akse eller komprimert mot en akse.

Tenk deg en graf som er tegnet på elastisk grafpapir, og festet til en solid overflate langs en av aksene. Ta nå det elastiske papiret med begge hender, en hånd på hver side av aksen som er festet til overflaten, og trekk begge sider av papiret bort fra aksen. Å gjøre det «utvider» grafen, slik at alle punkter beveger seg bort fra aksen til et flertall av deres opprinnelige avstand fra aksen. Som et eksempel på dette, vurder følgende graf:

grafen over viser en funksjon før og etter en vertikal utvidelse. Koordinatene til to punkter på den faste linjen vises, som koordinatene til de to tilsvarende punktene på den stiplede linjen, for å hjelpe deg med å bekrefte at den stiplede linjen er nøyaktig dobbelt så langt fra x-aksen som det samme fargepunktet på den faste linjen.

opprinnelsen er et punkt som deles av begge linjene, og det er nyttig å merke seg at den stiplede linjen fortsatt er «dobbelt så langt fra x-aksen» ved opprinnelsen, fordi . Ethvert punkt som tilfredsstiller en funksjonsdefinisjon og ligger på x-aksen, vil ikke bevege seg når funksjonen utvides vertikalt.

det er to måter vi kan beskrive forholdet mellom de to funksjonene som er skissert ovenfor. Enten:

• den heltrukne linjen har blitt «utvidet vertikalt med en faktor på 2» for å produsere den stiplede linjen, eller
• den stiplede linjen har blitt «utvidet vertikalt med en faktor på 0.5 » for å produsere den faste linjen.

begge setningene beskriver grafen nøyaktig. Men generelt vil funksjonsdefinisjonen som er enkleste (i algebraiske termer) betraktes som «foreldre»-funksjonen, med den mer komplekse utseende definisjonen beskrevet som en utvidelse av den enklere funksjonen.

for eksempel

(grafert som den stiplede kurven nedenfor), er lettere å analysere hvis du oppfatter det som relatert til en enklere «forelder» – funksjon:

(grafert som den faste kurven nedenfor) som har blitt både utvidet og oversatt:

f(x) har blitt utvidet vertikalt med en faktor på 3, deretter oversatt vertikalt med +5 og horisontalt med + 1 for å produsere g(x).

det blå punktet ved opprinnelsen, som er toppunktet til den faste parabolen, hadde sin y-koordinat (0) multiplisert med tre da hadde fem lagt til det:

(0) x 3 + 5 = 5

Den ble deretter flyttet en enhet til høyre, noe som førte til at x-koordinaten endret seg fra 0 til 1. Så,» foreldre » toppunktet som var ved opprinnelsen ligger på (1, 5) i den transformerte funksjonen.

det grønne punktet på den faste parabolen (2, 4) hadde også sin y-koordinat (4) multiplisert med tre og hadde fem lagt til det:

4 x 3 + 5 = 17

Det ble deretter skiftet en enhet til høyre, akkurat som toppunktet var ,og det punktet (3, 17) tilfredsstiller ligningen til den stiplede parabolen, g(x).

Visualisere funksjoner som oversettelser og utvidelse av en enklere «foreldrefunksjon» kan gjøre komplekse ligninger mye enklere å tolke.

Merk at en negativ dilatasjonsfaktor forårsaker både en dilatasjon og en refleksjon om aksen. Alle punkter som var på den ene siden av dilatasjonsaksen reflekteres til den andre siden av aksen med en negativ dilatasjonsfaktor.

Vertikal Dilatasjon

Vurder den faste parabolen nedenfor, som representerer funksjonen:

hvis den oversettes vertikalt med +4, slik at toppunktet beveger seg fra (0,0) til (0,4), blir ligningen:

som er grafert av den stiplede parabolen nedenfor. Hva skjer med grafen til den stiplede parabolen f (x) hvis hvert begrep i ligningen multipliseres med tre? Vi refererer til resultatet av denne multiplikasjonen som g (x):

Merk at vi enkelt kunne skrive denne andre funksjonen i form av den første:

ved å definere g(x) på denne måten, sier vi eksplisitt at hver y-koordinat produsert av g(x) vil være tre ganger den tilsvarende y-koordinaten på f(x). Med andre ord er g(x) f(x) utvidet vertikalt med en faktor på tre.

Hvert punkt på grafen til g (x) under (den øvre, stiplede, parabola) er tre ganger lenger unna x-aksen enn det tilsvarende punktet på f (x):

denne prosessen fungerer for alle funksjoner.

når resultatet av en overordnet funksjon multipliseres med en verdi, utvides den overordnede funksjonen vertikalt. Hvis f (x) er foreldrefunksjonen, utvider

f(x) vertikalt med en faktor «a».

la oss bruke denne ideen til en trigonometrisk funksjon:

basert på forklaringen i forrige avsnitt, kan vi konkludere med at

representerer en vertikal utvidelse med -5 av

hvis vi bruker denne tilnærmingen til en annen type funksjon

du kan se at vi kan analysere det på samme måte:

utvidet vertikalt med en faktor på k blir:

Å Anvende denne tilnærmingen til en enda mer kompleks situasjon:

foreldrefunksjonen i dette tilfellet er

merk at hver forekomst av «x» i f(x) har hatt (x-1) erstattet den, som oversetter f(x) horisontalt med +1. Da ble dette resultatet multiplisert med 3, noe som forårsaket en vertikal utvidelse med en faktor på 3:

den opprinnelige vertikale oversettelsen og y-avskjæringen på +1(den konstante termen i definisjonen av f(x) ) påvirkes også av den vertikale dilatasjonen, og blir +3 i g (x)… tre ganger avstanden fra x-aksen som den opprinnelig var.

et siste eksempel:

foreldrefunksjonen

har blitt utvidet vertikalt med en faktor på +2, oversatt horisontalt med +7, og deretter oversatt vertikalt med +3( etter å ha blitt utvidet vertikalt), for å produsere g (x):

Horisontal Dilatasjon

la oss gå tilbake til grafen for:

hva skjer med denne grafen Hvis ligningen endres ved å multiplisere hver «x» i ligningen med tre:

igjen kan vi beskrive g(x) mer kompakt hvis vi gjør det ved å bruke f(x), men denne gangen blir dilatasjonsfaktoren multiplisert med funksjonens «inngangsvariabel» i stedet for dens «resultat» (som en vertikal utvidelse):

Merk At F(X) passerer gjennom punktet (3,13). Siden vi tenker på horisontale dilasjoner, la oss spørre «Hvilken verdi må’ x ‘ ha hvis g (x) skal produsere samme utgang på 13?»

siden (3,13) flyttet til (1,13), har multiplikasjon av hver «x» i f(x) med 3 komprimert grafen horisontalt, med hvert punkt flyttet til en tredjedel av sin tidligere avstand fra y-aksen.

hvis multiplikasjon av resultatet av en funksjon med en faktor forårsaker en vertikal utvidelse med samme faktor, hvorfor forårsaker multiplikasjon av inngangsvariabelen med en faktor en horisontal utvidelse med gjensidig av den faktoren? Å stille spørsmålet på en annen måte, hvis du bruker en koeffisient som er større enn en, utvider ting vertikalt, hvorfor krymper det ting horisontalt? Denne forskjellen i effekt virker bakvendt ved første øyekast. Forskjellen oppstår fordi vertikale dilasjoner oppstår når vi skalerer utgangen av en funksjon, mens horisontale dilasjoner oppstår når vi skalerer inngangen til en funksjon.

» x » i den opprinnelige f(x) ble en «3x» i g(x), så g(x) når en gitt «inngangsverdi» tre ganger raskere enn f(x). «x» må bare være 1/3 så stor i g (x) for at resultatet av ligningen skal være det samme som f (x). Derfor har alle punkter på g (x) blitt skalert til å være 1/3 av avstanden fra den vertikale aksen som de var i f (x).

denne prosessen fungerer for enhver funksjon. Når inngangen til «foreldrefunksjonen» multipliseres med en verdi, blir foreldrefunksjonen utvidet horisontalt. Hvis

er foreldrefunksjonen, representerer

en horisontal utvidelse av foreldrefunksjonen med en faktor på «1 / a».

Bruk denne ideen til en litt mer kompleks situasjon:

så

representerer en horisontal dilatasjon med en faktor på 1/5 (mot den vertikale aksen) av

med andre ord er perioden f(x), og perioden g(x) er

Horisontale dilasjoner av en kvadratisk funksjon ser litt mer komplisert ut først, til du blir vant til mønsteret du leter etter:

så

representerer en horisontal utvidelse med en faktor på 2 (bort fra den vertikale aksen) på

Merk at hver forekomst av » x » i foreldrefunksjonen må endres til

for at den nye ligningen skal representere en horisontal utvidelse av forelderen med en faktor på 2.

Å Anvende denne tilnærmingen til en brøk situasjon:

så

representerer en horisontal utvidelse med en faktor på 1/k

hva er Forskjellen?

når du vurderer både vertikale og horisontale dilasjoner, har du kanskje innsett at grafene til noen funksjoner, for eksempel

, kan betraktes som enten en vertikal dilatasjon med en faktor på 4 eller en horisontal dilatasjon med en faktor på 1/2. Det er interessant å merke seg at begge dilasjonene, strekker den vertikalt eller klemmer den horisontalt, har samme sluttresultat for denne funksjonen. Kan dette være sant for andre funksjoner også? Vurder følgende ekvivalente ligninger:

dette eksemplet viser at noen funksjoner kan transformeres til det samme sluttresultatet ved enten en horisontal utvidelse, en vertikal utvidelse eller en kombinasjon av begge. I eksemplet ovenfor produserer følgende tre sett med dilasjoner og oversettelser av foreldrefunksjonen samme graf:
1) Utvidet horisontalt med en faktor på 1/6, deretter oversatt horisontalt med +2. Ingen vertikal utvidelse.
2) Utvidet horisontalt med en faktor på 1/3, deretter oversatt horisontalt med +2. Utvidet vertikalt med en faktor på 4.
3) ingen horisontal utvidelse, oversatt horisontalt med +2. Utvidet vertikalt med en faktor på 36.

Legg merke til hvordan de horisontale oversettelsene endres etter hvert som de horisontale utvidelsene endres. Siden en horisontal utvidelse krymper hele grafen mot den vertikale aksen, krymper grafens horisontale oversettelse med samme faktor. Da den opprinnelige horisontale dilatasjonsfaktoren på 1/6 i eksemplet ovenfor økes med en faktor på 6 til 1 (blir omdannet til en vertikal dilatasjonsfaktor på 36 i prosessen), krymper den opprinnelige horisontale oversettelsen av 12 med en faktor på 6 til 2.

Så hvilken av alle alternativene ovenfor er den «normale» måten å beskrive denne grafen på? Å ha en foretrukket måte å beskrive det på, vil gjøre det mer sannsynlig at forskjellige mennesker vil beskrive grafen på samme måte …

den «normale» måten å beskrive en kombinasjon av dilasjoner og oversettelser er å konvertere alle dilasjoner til vertikale dilasjoner ved å manipulere uttrykket slik at den uavhengige variabelen har en koeffisient på en:

så denne ligningen representerer en vertikal utvidelse med en faktor på 36 og en horisontal oversettelse av +2 av ligningen

hvis du ikke var interessert i den vertikale utvidelsen, Men bare i den horisontale oversettelsen, kan du løse det uavhengige variable uttrykket (før du bruker noen eksponent) for null:

som forteller oss at «foreldrefunksjonen» har blitt oversatt horisontalt med +2 etter at alle dilasjoner er utført.

Dilatasjon Om Linjer Vekk Fra En Akse

i noen situasjoner vil det være nyttig å utvide en funksjon i forhold til en horisontal eller vertikal linje enn aksen. For å oppnå dette må vi:

1. Oversett grafen slik at den delen av grafen som skal forbli uendret ved utvidelsen flyttes til aksen
2. Utvid grafen med ønsket mengde
3. Oversett den utvidede funksjonen tilbake til sin opprinnelige plassering

Anta at vi ønsker å utvide en funksjon f (x) vertikalt med en faktor på 3 om linjen y=2. Ovennevnte trinn gir følgende for funksjonen f (x):

Oversett f(x) ned 2, slik at linjen som vi ønsker å utvide flyttes på x-aksen:

Utvid den oversatte funksjonen vertikalt med en faktor på 3:

nå «angre» den opprinnelige vertikale oversettelsen ved å oversette den opp igjen 2:

hvis du grafer både f (x) og g(x) på samme graf, som vist ovenfor, vil du merke at de to grafene skjærer hverandre på linjen y=2, som er linjen om hvilken vi utvidet f (x). Det er de eneste to punktene på grafen for f (x) som forblir uendret ved utvidelsen.

Den samme prosessen kan følges for å skape horisontale dilasjoner om en vertikal linje: oversett funksjonen horisontalt, utvid den, og oversett deretter resultatet tilbake til der det startet.

Vil Du Spille?

hvis du vil leke med vertikale dilasjoner og se hvordan De fungerer, kan Du prøve Et Av Følgende Geogebra-applets. Den eneste som lar deg spille med horisontale dilasjoner er den siste (Sinusfunksjon):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function