dylatacje funkcji: jak je rozpoznawać i analizować
ten post został napisany w 2010 roku. Dla mojego obecnego podejścia do tego tematu, który wykorzystuje równania transformacji, Proszę kliknąć ten link: transformacje funkcji: Dylatacja
ten post bada jeden rodzaj transformacji funkcji: „Dylatacja”. Jeśli nie jesteś zaznajomiony z „tłumaczeniem”, które jest prostszym rodzajem transformacji, możesz przeczytać tłumaczenie funkcji: jak je najpierw rozpoznać i przeanalizować.
funkcja została „rozszerzona” (zwróć uwagę na pisownię… nie jest pisana ani wymawiana „dialated”), gdy została rozciągnięta od osi lub skompresowana w kierunku osi.
wyobraź sobie wykres, który został narysowany na elastycznym papierze graficznym i przymocowany do stałej powierzchni wzdłuż jednej z osi. Teraz chwyć elastyczny papier obiema rękami, jedną ręką po każdej stronie osi, która jest przymocowana do powierzchni, i odciągnij obie strony papieru od osi. W ten sposób” rozszerza ” Wykres, powodując, że wszystkie punkty oddalają się od osi do wielokrotności ich pierwotnej odległości od osi. Jako przykład tego rozważmy następujący wykres:
powyższy wykres przedstawia funkcję przed i po dylatacji pionowej. Współrzędne dwóch punktów na linii ciągłej są pokazane, podobnie jak współrzędne dwóch odpowiadających im punktów na linii przerywanej, aby pomóc ci sprawdzić, czy linia przerywana jest dokładnie dwa razy dalej od osi x niż ten sam punkt koloru na linii ciągłej.
początek jest punktem wspólnym dla obu linii i warto zauważyć, że przerywana linia jest nadal „dwa razy bardziej oddalona od osi x” na początku, ponieważ . Każdy punkt spełniający definicję funkcji i leżący na osi x nie będzie się poruszał, gdy funkcja jest rozszerzona pionowo.
istnieją dwa sposoby opisania relacji między tymi dwiema funkcjami na wykresie powyżej. Albo:
- linia ciągła została ” rozszerzona pionowo o współczynnik 2 „w celu wytworzenia linii przerywanej, lub
- linia przerywana została” rozszerzona pionowo o współczynnik 0.5″ do produkcji linii ciągłej.
oba stwierdzenia dokładnie opisują Wykres. Jednak ogólnie definicja funkcji, która jest najprostsza (w kategoriach algebraicznych), będzie uważana za funkcję „rodzica”, przy czym bardziej złożona definicja będzie opisana jako Dylatacja prostszej funkcji.
na przykład,
(wykreślona jako przerywana krzywa poniżej), łatwiej jest przeanalizować, jeśli postrzegasz ją jako związaną z prostszą funkcją „rodzica”:
(wykreślona jako stała krzywa poniżej), która została zarówno Rozszerzona, jak i przetłumaczona:
f(x) zostało rozszerzone pionowo o współczynnik 3, a następnie przełożone pionowo o +5 i poziomo o +1 w celu uzyskania g(x).
punkt niebieski na początku, który jest wierzchołkiem stałej paraboli, miał swoją współrzędną y (0) pomnożoną przez trzy, a następnie dodano do niego pięć:
(0) x 3 + 5 = 5
następnie przesunięto go o jedną jednostkę w prawo, powodując zmianę jego współrzędnych x z 0 Na 1. Tak więc wierzchołek „rodzica”, który był na początku, znajduje się w (1, 5) w funkcji przekształconej.
zielony punkt na stałej paraboli (2, 4) również miał swoją współrzędną y (4) pomnożoną przez trzy i dodano do niej pięć:
4 x 3 + 5 = 17
następnie przesunięto go o jedną jednostkę w prawo, tak jak był wierzchołek, i ten punkt(3 ,17) spełnia równanie przerywanej paraboli, g (x).
Wizualizacja funkcji jako tłumaczeń i dylatacji prostszej „funkcji nadrzędnej” może znacznie ułatwić interpretację złożonych równań.
zauważ, że ujemny współczynnik dylatacji powoduje zarówno dylatację, jak i odbicie wokół osi. Wszystkie punkty, które znajdowały się po jednej stronie osi dylatacji, są odbijane na drugą stronę osi przez ujemny współczynnik dylatacji.
Dylatacja pionowa
rozważmy stałą parabolę poniżej, która reprezentuje funkcję:
jeśli jest ona tłumaczona pionowo przez +4, tak że jej wierzchołek przesuwa się od (0,0) do (0,4), równanie staje się:
, które jest wykreślone przez przerywaną parabolę poniżej. Co się dzieje z wykresem przerywanej paraboli f (x), jeśli każdy wyraz w równaniu jest pomnożony przez trzy? Będziemy odnosić się do wyniku tego mnożenia jako g (x):
zauważ, że możemy łatwo napisać tę drugą funkcję w kategoriach pierwszej:
definiując G(x) w ten sposób, wyraźnie stwierdzamy, że każda współrzędna y wytworzona przez g(x) będzie trzykrotnie większa od odpowiadającej jej współrzędnej Y na f(x). Innymi słowy, g(x) to f (x) rozszerzone pionowo o współczynnik trzy.
każdy punkt na wykresie g (x) poniżej (górna, kropkowana, parabola) jest trzy razy dalej od osi x niż odpowiedni punkt na f (x):
ten proces działa dla dowolnej funkcji.
za każdym razem, gdy wynik funkcji nadrzędnej jest pomnożony przez wartość, funkcja nadrzędna jest rozszerzana pionowo. Jeśli F(x) jest funkcją nadrzędną, to
rozszerza F (x) pionowo o współczynnik „a”.
zastosujmy ten pomysł do funkcji trygonometrycznej:
opierając się na wyjaśnieniu w poprzednim akapicie, możemy stwierdzić, że
reprezentuje pionowe rozszerzenie o -5 z
jeśli zastosujemy to podejście do innej funkcji typu
widać, że możemy je przeanalizować w ten sam sposób:
rozszerzone pionowo o współczynnik k staje się:
zastosowanie tego podejścia do jeszcze bardziej sytuacja złożona:
funkcja nadrzędna w tym przypadku to
zauważ, że każda instancja „x” W F(X) ma podstawione (x-1), co tłumaczy F(X) poziomo przez +1. Następnie wynik ten został pomnożony przez 3, powodując pionowe dylatacje o współczynnik 3:
oryginalny przekład pionowy i punkt przecięcia osi y równy + 1(termin stały w definicji f(x) ) jest również zależny od dylatacji pionowej i staje się +3 W g (x) … trzy razy większy od osi x niż pierwotnie.
ostatni przykład:
funkcja nadrzędna
została rozszerzona pionowo o współczynnik +2, przetłumaczona poziomo przez +7, a następnie przetłumaczona pionowo przez +3 (po rozszerzeniu pionowym), aby uzyskać g(x):
Dylatacja pozioma
powróćmy do wykresu:
co się stanie z tym wykresem, jeśli równanie zostanie zmienione przez pomnożenie każdego „X” w równaniu przez trzy:
po raz kolejny możemy opisać g(x) bardziej zwięźle, jeśli zrobimy to za pomocą f(x), jednak tym razem współczynnik dylatacji jest mnożony przez „zmienną wejściową” funkcji zamiast jej „wynikiem” (podobnie jak w przypadku dylatacji pionowej):
zauważ, że F(X) przechodzi przez punkt (3,13). Ponieważ myślimy o poziomych dylatacjach, zapytajmy: „jaką wartość musi mieć 'x’, jeśli g(x) ma otrzymać to samo wyjście z 13?”
ponieważ (3,13) przeniósł się do (1,13), pomnożenie każdego” x ” W f(x) przez 3 skompresowało Wykres poziomo, przy czym każdy punkt został przesunięty do jednej trzeciej jego poprzedniej odległości od osi Y.
jeśli pomnożenie wyniku funkcji przez współczynnik powoduje dylatację pionową o ten sam współczynnik, dlaczego pomnożenie zmiennej wejściowej przez współczynnik powoduje dylatację poziomą o odwrotność tego współczynnika? Aby zadać pytanie w inny sposób, jeśli użycie współczynnika większego niż jeden rozszerza rzeczy w pionie, dlaczego kurczy rzeczy w poziomie? Ta różnica w działaniu wydaje się na pierwszy rzut oka sprzeczna z intuicją. Różnica występuje, ponieważ dylatacje pionowe występują, gdy skalujemy wyjście funkcji, podczas gdy dylatacje poziome występują, gdy skalujemy wejście funkcji.
„x” w oryginalnym f(x) stał się „3x” w g(x), więc g(x) osiąga określoną „wartość wejściową” trzy razy szybciej niż f(x). „x” musi mieć tylko 1/3 wielkości w g (x), aby wynik równania był taki sam jak f(x). Dlatego wszystkie punkty na g (x) zostały przeskalowane na 1/3 odległości od osi pionowej, jaką znajdowały się w f (x).
ten proces działa dla dowolnej funkcji. Za każdym razem, gdy wejście „funkcji nadrzędnej” jest mnożone przez wartość, funkcja nadrzędna jest rozszerzana poziomo. Jeśli
jest funkcją nadrzędną, to
reprezentuje poziome rozszerzenie funkcji nadrzędnej o współczynnik „1/A”.
Zastosuj ten pomysł w nieco bardziej złożonej sytuacji:
więc
reprezentuje poziome dylatacje o współczynnik 1/5 (w kierunku osi pionowej)
innymi słowy, okres f(x) jest, a okres g (x) jest
poziome dylatacje funkcji kwadratowej wyglądają na początku nieco bardziej złożone, dopóki nie przyzwyczaisz się do wzoru, którego szukasz:
Tak więc
reprezentuje poziome dylatacje o współczynnik 2 (z dala od osi pionowej)
zauważ, że każde wystąpienie „x” w funkcji nadrzędnej musi zostać zmienione na
, aby nowe równanie przedstawiało poziome dylatacje rodzica o współczynnik 2.
zastosowanie tego podejścia do sytuacji ułamkowej:
więc
reprezentuje poziome rozszerzenie o współczynnik 1/k
Jaka jest różnica?
rozważając zarówno dylatacje pionowe, jak i poziome, być może zdałeś sobie sprawę, że wykresy niektórych funkcji, takich jak
, można uznać za dylatację pionową o współczynniku 4 lub dylatację poziomą o współczynniku 1/2. Warto zauważyć, że oba dylatacje, rozciągające go pionowo lub ściskające poziomo, mają ten sam efekt końcowy dla tej funkcji. Czy może to być prawdą również dla innych funkcji? Rozważmy następujące równania równoważne:
ten przykład pokazuje, że niektóre funkcje mogą przekształcić się w ten sam wynik końcowy przez poziome dylatacje, pionowe dylatacje lub kombinację obu tych funkcji. W powyższym przykładzie następujące trzy zestawy dylatacji i translacji funkcji nadrzędnej dają ten sam wykres:
1) Rozszerzone poziomo o współczynnik 1/6, a następnie tłumaczone poziomo przez +2. Brak pionowego rozwarcia.
2) Rozszerzone poziomo o współczynnik 1/3, następnie tłumaczone poziomo przez +2. Rozszerzone pionowo o współczynnik 4.
3) Brak dylatacji poziomej, tłumaczonej poziomo przez +2. Rozszerzone pionowo o współczynnik 36.
zauważ, jak zmieniają się przekłady poziome wraz ze zmianą dylatacji poziomych. Ponieważ Dylatacja pozioma kurczy cały wykres w kierunku osi pionowej, translacja pozioma wykresu kurczy się o ten sam czynnik. Ponieważ pierwotny współczynnik dylatacji poziomej wynoszący 1/6 w powyższym przykładzie zwiększa się o współczynnik 6, aby uzyskać wartość 1 (przekształcając się w procesie W współczynnik dylatacji pionowej wynoszący 36), pierwotne tłumaczenie poziome 12 zmniejsza się o współczynnik 6, aby uzyskać wartość 2.
która z powyższych opcji jest „normalnym” sposobem opisania tego wykresu? Preferowany sposób opisania wykresu sprawi, że będzie bardziej prawdopodobne, że różni ludzie będą opisywać wykres w ten sam sposób …
„normalnym” sposobem opisywania kombinacji dylatacji i tłumaczeń jest przekształcenie wszystkich dylatacji w dylatacje pionowe poprzez manipulowanie wyrażeniem tak, aby zmienna niezależna miała współczynnik jeden.:
więc to równanie przedstawia dylatację pionową o współczynnik 36 i translację poziomą +2 równania
jeśli nie interesuje Cię Dylatacja pionowa, ale tylko tłumaczenie poziome, możesz rozwiązać wyrażenie zmiennej niezależnej (przed zastosowaniem dowolnego wykładnika) dla zera:
, które mówi nam, że „funkcja nadrzędna” została przetłumaczona poziomo przez +2 po przeprowadzeniu wszystkich dylatacji.
Dylatacja o linie oddalone od osi
W niektórych sytuacjach przydatne będzie rozszerzenie funkcji względem linii poziomej lub pionowej innej niż oś. Aby to osiągnąć, musimy:
- Translate the graph so that the part of the graph that is to remain unchanged by the dilation is moved to the axis
- Dilate the graph by the desire amount
- Translate the dilated function back to its original location
Załóżmy, że chcemy rozszerzyć funkcję F(x) pionowo o współczynnik 3 o linii y=2. Powyższe kroki dają następujące rezultaty dla funkcji f (x):
Przetłumacz f (x) w dół o 2, tak że linia, o którą chcemy rozszerzyć, zostanie przesunięta na oś x:
Rozszerz przetłumaczoną funkcję pionowo o współczynnik 3:
teraz „Cofnij” oryginalne tłumaczenie pionowe, tłumacząc je z powrotem do góry 2:
jeśli wykresujesz zarówno f (x), jak i g (x) na tym samym wykresie, jak pokazano powyżej, zauważysz, że dwa wykresy przecinają się na linii y=2, która jest linią, o którą rozszerzyliśmy f(x). Są to jedyne dwa punkty na wykresie f (x), które pozostają niezmienione przez dylatację.
ten sam proces można wykonać, aby utworzyć poziome dylatacje o jakiejś pionowej linii: Przetłumacz funkcję poziomo, następnie rozszerz ją, a następnie Przetłumacz wynik z powrotem do miejsca, w którym się zaczęła.
chcesz zagrać?
jeśli chcesz bawić się pionowymi dylatacjami i zobaczyć, jak działają, wypróbuj którykolwiek z następujących apletów Geogebra. Jedyną, która pozwala bawić się dylatacjami poziomymi jest ta ostatnia (funkcja Sinus):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function