Dilações de função: como reconhecê-las e analisá-las

este post foi escrito em 2010. Para a minha abordagem atual a este tópico, que usa equações de transformação, por favor siga esta ligação: transformações de função: Dilatação

este post explora um tipo de transformação de função: “dilatação”. Se você não está familiarizado com” tradução”, que é um tipo mais simples de transformação, você pode querer ler traduções de função: como reconhecê-las e analisá-las primeiro.

uma função foi “dilatada “(note a ortografia… não é soletrada ou pronunciada” dialatada”) quando foi esticada de um eixo ou comprimida em direção a um eixo.

Imagine um gráfico que foi desenhado em papel elástico do gráfico, e fixado a uma superfície sólida ao longo de um dos eixos. Agora segure o papel elástico com ambas as mãos, uma mão em cada lado do eixo que é fixado à superfície, e puxe ambos os lados do papel para longe do eixo. Fazendo isso “dilata” o grafo, fazendo com que todos os pontos se afastem do eixo para um múltiplo de sua distância original do eixo. Como um exemplo, considere o seguinte gráfico:

O gráfico acima mostra uma função antes e depois de uma dilatação vertical. As coordenadas de dois pontos na linha sólida são mostradas, assim como as coordenadas dos dois pontos correspondentes na linha tracejada, para ajudá-lo a verificar que a linha tracejada está exatamente duas vezes mais longe do eixo x do que o mesmo ponto de cor na linha sólida.

A origem é um ponto compartilhado por ambas as linhas, e é útil notar que a linha tracejada ainda é “duas vezes mais longe do eixo x na origem, porque . Qualquer ponto que satisfaça uma definição de função e se encontre no eixo x não se moverá quando a função for dilatada verticalmente.

existem duas maneiras de descrever a relação entre as duas funções graficadas acima. Ou:

• a linha sólida foi “dilatada verticalmente por um fator de 2” para produzir a linha tracejada, ou
• a linha tracejada foi “dilatada verticalmente por um fator de 0.5” para produzir a linha sólida.

ambas as afirmações descrevem o gráfico com precisão. No entanto, em geral, a definição da função que é mais simples (em termos algébricos) será considerada a função “pai”, com a definição mais complexa sendo descrita como uma dilatação da função mais simples.

por exemplo,

(gráfico como a curva tracejada abaixo), é mais fácil de analisar se a considerar relacionada com uma função “pai” mais simples:

(gráfico como a curva sólida abaixo) que foi dilatada e traduzida:

f (x) foi dilatada verticalmente por um factor de 3, Depois traduzida verticalmente por +5 e horizontalmente por +1 para produzir g(x).

O ponto azul na origem, que é o vértice do sólido parábola, teve a sua coordenada y (0) multiplicado por três, então tinha cinco adicionados:

(0) x 3 + 5 = 5

em seguida, foi deslocado a uma unidade para a direita, fazendo com que sua coordenada x para mudar de 0 para 1. Assim, o vértice” pai ” que estava na origem está localizado em (1, 5) na função transformada.

O ponto verde no sólido parábola (2, 4) também teve a sua coordenada y (4) multiplicado por três, e teve cinco adicionado:

4 x 3 + 5 = 17

em seguida, foi deslocado a uma unidade para a direita, tal como o vértice foi, e que o ponto (3 ,17) satisfaz a equação de tracejada parábola, g(x).

Visualizing functions as translations and dilations of a simpler “parent function” can make complex-looking equations much easier to interpret.

Note que um factor de dilatação negativo provoca tanto uma dilatação como uma reflexão sobre o eixo. Todos os pontos que estavam de um lado do eixo de dilatação são refletidos para o outro lado do eixo por um fator de dilatação negativo.

Vertical Dilatação

Considere o sólido parábola abaixo, que representa a função:

Se for traduzido verticalmente +4, para que seu vértice se move a partir de (0,0) a (0,4), a equação torna-se:

qual é plotado pelo tracejado parábola abaixo. O que acontece ao gráfico da parábola tracejada f(x) se cada termo em sua equação é multiplicado por três? Referiremos ao resultado desta multiplicação como g (x):

Note que poderíamos facilmente escrever esta segunda função em termos da primeira:

ao definir g (x) desta forma, estamos explicitamente afirmando que cada coordenada y produzida por g(x) será três vezes a coordenada y correspondente em f(x). Em outras palavras, g (x) é f (x) dilatado verticalmente por um fator de três.

cada ponto do Gráfico de g(x) abaixo (a parábola superior, pontilhada) está três vezes mais longe do eixo dos x do que o ponto correspondente em f (x):

este processo funciona para qualquer função.

em qualquer altura em que o resultado de uma função-mãe é multiplicado por um valor, a função-mãe está a ser dilatada verticalmente. Se f (x) for a função-mãe, então

dilata f(x) verticalmente por um factor de “a”.Vamos aplicar esta ideia a uma função trigonométrica:

Baseado na explicação no parágrafo anterior, podemos concluir que a

representa uma dilatação vertical por -5 de

Se a gente aplicar esta abordagem para outro tipo de função

você pode ver que possamos analisá-lo da mesma maneira:

dilatada verticalmente por um fator de k torna-se:

Aplicar esta abordagem ainda mais complexa situação:

função principal neste caso é a

Note que cada instância de “x” em f(x) tem tido (x-1) substituído para ele, o que se traduz f(x) horizontalmente, com +1. Em seguida, este resultado foi multiplicado por 3, causando uma dilatação vertical por um fator de 3:

original translação vertical e intercepção de y +1 ( o termo constante na definição de f(x) ) também é afetado pela dilatação vertical, e torna-se +3 g(x)… a três vezes a distância entre o eixo x, que era originalmente.

um último exemplo:

a função precursora

foi dilatada verticalmente por um factor de +2, traduzida horizontalmente por +7 ,e depois traduzida verticalmente por +3( Depois de ter sido dilatada verticalmente), para produzir g(x):

Horizontal Dilatação

Vamos voltar para o gráfico de:

o Que acontece com este gráfico se a equação é alterado multiplicando a cada “x” na equação de três:

mais uma Vez, podemos descrever a g(x) mais compacta se podemos fazer isso usando f(x), no entanto, desta vez a dilatação fator é multiplicado pela função de “variável de entrada” em vez do “resultado” (como foi feito para produzir uma dilatação vertical):

Note que f(x) passa pelo ponto (3,13). Uma vez que estamos pensando em dilações horizontais, vamos perguntar “Que valor deve ‘x’ ter se g(x) é produzir essa mesma saída de 13?”

Desde (3,13) movida (1,13), multiplicando a cada “x” no f(x) por 3 tem comprimido o gráfico na horizontal, com cada ponto a ser movido para um terço dos seus anteriores distância do eixo y.

se a multiplicação do resultado de uma função por um fator causa uma dilatação vertical pelo mesmo fator, por que a multiplicação da variável de entrada por um fator causa uma dilatação horizontal pelo recíproco desse fator? Para fazer a pergunta de outra maneira, se usando um coeficiente maior do que se expande as coisas verticalmente, por que encolhe as coisas horizontalmente? Esta diferença de efeito parece contra-intuitiva à primeira vista. A diferença ocorre porque dilações verticais ocorrem quando escalamos a saída de uma função, enquanto dilações horizontais ocorrem quando escalamos a entrada de uma função.

o ” x “no original f(x) tornou-se um” 3x “Em g(x), de modo que g(x) atinge um dado” valor de entrada ” três vezes mais rápido que f(x). “x” só tem que ser 1/3 tão grande em g(x) para que o resultado da equação seja o mesmo que f(x). Portanto, todos os pontos em g (x) foram dimensionados para 1/3 da distância do eixo vertical que estavam em f(x).Este processo funciona para qualquer função. Quando a entrada da “função-mãe” é multiplicada por um valor, a função-mãe está sendo dilatada horizontalmente. Se

é a função-mãe, então

representa uma dilatação horizontal da função-mãe por um factor de “1/a”.

aplicar esta ideia a uma situação ligeiramente mais complexa:

então

representa uma dilatação horizontal por um fator de 1/5 (na direção do eixo vertical) de

Em outras palavras, o período de f(x) é , e o período de g(x) é

Horizontal dilatações de uma função quadrática olhar um pouco mais complexo no início, até você se acostumar com o padrão que você está procurando:

então

representa uma dilatação horizontal por um fator de 2 (distância do eixo vertical) de

Note que cada instância de “x” em função principal deve ser alterado para

para a nova equação para representar uma horizontal dilatação do pai por um fator de 2.

aplicar esta abordagem a uma situação fraccionada:

assim

representa uma dilatação horizontal por um factor de 1 / k de

qual a diferença?

ao contemplar dilações verticais e horizontais, você pode ter percebido que os grafos de algumas funções, tais como

pode ser considerado uma dilatação vertical por um fator de 4 ou uma dilatação horizontal por um fator de 1/2. É interessante notar que ambas as dilações, estendendo-a verticalmente ou apertando-a horizontalmente, têm o mesmo resultado final para esta função. Isto também pode ser verdade para outras funções? Considere as seguintes equações equivalentes::Este exemplo demonstra que algumas funções podem ser transformadas para o mesmo resultado final por uma dilatação horizontal, uma dilatação vertical ou uma combinação de ambas. No exemplo acima, os três conjuntos seguintes de dilações e traduções da função-mãe produzem o mesmo grafo:
1) dilatado horizontalmente por um fator de 1/6, então traduzido horizontalmente por +2. Sem dilatação vertical.
2) dilatado horizontalmente por um factor de 1/3, depois traduzido horizontalmente por +2. Dilatada verticalmente por um factor de 4.
3) nenhuma dilatação horizontal, traduzida horizontalmente por +2. Dilatada verticalmente por um factor de 36.

Note como as traduções horizontais mudam à medida que as dilações horizontais mudam. Uma vez que uma dilatação horizontal encolhe todo o grafo em direção ao eixo vertical, a tradução horizontal do grafo encolhe pelo mesmo fator. Como o Fator de dilatação horizontal original de 1/6 no exemplo acima é aumentado por um fator de 6 a ser 1 (tornando-se convertido em um fator de dilatação vertical de 36 no processo), a tradução horizontal original de 12 Encolhimentos por um fator de 6 para se tornar 2.

então qual de todas as opções acima é a maneira” normal ” de descrever este gráfico? Ter um melhor maneira de descrevê-la fará com que seja mais provável que pessoas diferentes irão descrever o gráfico da mesma forma…

“normal” maneira de descrever uma combinação de dilatações e translações é converter todas as dilatações verticais, dilatações, manipulando a expressão de modo que a variável independente tem um coeficiente de uma:

Portanto, esta equação representa uma dilatação vertical por um fator de 36 e uma translação horizontal de +2 da equação

Se você não estivesse interessado na vertical dilatação, mas apenas na horizontal tradução, você poderia resolver a variável independente expressão (antes de aplicar qualquer expoente) para zero:

que nos diz que a “função de pai” tem sido traduzido horizontalmente +2 depois que todas as dilatações têm sido realizados.Em algumas situações, será útil dilatar uma função em relação a uma linha horizontal ou vertical que não seja o eixo. Para conseguir isso, precisamos:

1. Traduzir o gráfico de forma que a parte do gráfico que está a manter-se inalterado pela dilatação é movido para o eixo
2. Dilatar o gráfico pelo desejo quantidade
3. Traduzir dilatada função de volta para seu local original

Suponha que desejamos para dilatar-se uma função f(x) verticalmente por um fator de 3 sobre a reta y=2. As etapas acima produz o seguinte para a função f(x):

Traduzir f(x) 2, de modo que a linha sobre a qual desejamos para dilatar é movido para o eixo x:

Dilatar traduzido função verticalmente por um fator de 3:

Agora “desfazer” o original vertical de tradução, traduzindo-lo de volta 2:

Se você fizer um gráfico de ambas f(x) e g(x) em um mesmo gráfico, como mostrado acima, você vai notar que os dois gráficos se interceptam um do outro na linha y=2, que é a linha sobre a qual sabemos que a dilatação de f(x). Estes são os únicos dois pontos no gráfico de f (x) que permanecem inalterados pela dilatação.

este mesmo processo pode ser seguido para criar dilações horizontais sobre alguma linha vertical: traduzir a função horizontalmente, em seguida, dilatá-la, em seguida, traduzir o resultado de volta para onde ele começou.Queres jogar?

se você gostaria de brincar com dilações verticais e ver como eles funcionam, tente qualquer um dos seguintes applets Geogebra. O único que lhe permite jogar com dilações horizontais é o último (função Sine):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function