dilatări funcționale: cum să le recunoaștem și să le analizăm

acest post a fost scris în 2010. Pentru abordarea mea actuală a acestui subiect, care utilizează ecuații de transformare, vă rugăm să urmați acest link: transformări de funcții: Dilatare

această postare explorează un tip de transformare a funcțiilor: „Dilatare”. Dacă nu sunteți familiarizați cu” traducere”, care este un tip mai simplu de transformare, poate doriți să citiți traduceri funcționale: cum să le recunoașteți și să le analizați mai întâi.

o funcție a fost „dilatată” (notați ortografia… nu este ortografiată sau pronunțată „apelată”) atunci când a fost întinsă departe de o axă sau comprimată spre o axă.

Imaginați-vă un grafic care a fost desenat pe hârtie milimetrică elastică și fixat pe o suprafață solidă de-a lungul uneia dintre axe. Acum apucați hârtia elastică cu ambele mâini, o mână pe fiecare parte a axei care este fixată pe suprafață și trageți ambele părți ale hârtiei departe de axă. Procedând astfel,” dilată ” graficul, determinând toate punctele să se îndepărteze de axă la un multiplu al distanței lor inițiale față de axă. Ca exemplu în acest sens, luați în considerare următorul grafic:

graficul de mai sus arată o funcție înainte și după o dilatare verticală. Coordonatele a două puncte de pe linia solidă sunt afișate, la fel ca și coordonatele celor două puncte corespunzătoare de pe linia punctată, pentru a vă ajuta să verificați dacă linia punctată este exact de două ori mai departe de axa x decât același punct de culoare de pe linia solidă.

originea este un punct împărțit de ambele linii și este util să rețineți că linia punctată este încă „de două ori mai departe de axa x” la origine, deoarece . Orice punct care satisface o definiție a funcției și se află pe axa x nu se va mișca atunci când funcția este dilatată vertical.

există două moduri în care putem descrie relația dintre cele două funcții prezentate mai sus. Fie:

• linia solidă a fost ” dilatată vertical cu un factor de 2 „pentru a produce linia punctată sau
• linia punctată a fost” dilatată vertical cu un factor de 0.5 ” pentru a produce linia solidă.

ambele declarații descriu graficul cu exactitate. Cu toate acestea, în general, definiția funcției care este cea mai simplă (în termeni algebrici) va fi considerată funcția „părinte”, definiția cu aspect mai complex fiind descrisă ca o dilatare a funcției mai simple.

de exemplu,

(grafic ca curba punctată de mai jos), este mai ușor de analizat dacă o percepeți ca fiind legată de o funcție „părinte” mai simplă:

(grafic ca curba solidă de mai jos) care a fost atât dilatată, cât și tradusă:

f(x) a fost dilatată vertical cu un factor de 3, apoi tradusă vertical cu +5 și orizontal cu +1 pentru a produce g(x).

punctul albastru de la origine, care este vârful parabolei solide, a avut coordonata y (0) înmulțită cu trei, apoi a adăugat cinci la ea:

(0) x 3 + 5 = 5

apoi a fost mutată o unitate spre dreapta, determinând schimbarea coordonatei sale x de la 0 la 1. Deci, vârful” părinte ” care a fost la origine este situat la (1, 5) în funcția transformată.

punctul verde de pe parabola solidă (2, 4) a avut, de asemenea, coordonata y (4) înmulțită cu trei și a adăugat cinci:

4 x 3 + 5 = 17

apoi a fost mutată o unitate spre dreapta, la fel cum a fost vârful, iar acel punct (3 ,17) satisface ecuația parabolei punctate, g(x).

vizualizarea funcțiilor ca Traduceri și dilatări ale unei „funcții părinte” mai simple poate face ecuațiile cu aspect complex mult mai ușor de interpretat.

rețineți că un factor de dilatare negativ determină atât o dilatare, cât și o reflecție despre axă. Toate punctele care se aflau pe o parte a axei de dilatare sunt reflectate pe cealaltă parte a axei printr-un factor de dilatare negativ.

Dilatare verticală

luați în considerare parabola solidă de mai jos, care reprezintă funcția:

dacă este tradusă vertical prin +4, astfel încât vârful său se deplasează de la (0,0) la (0,4), ecuația devine:

care este grafic de parabola punctată de mai jos. Ce se întâmplă cu graficul parabolei punctate f (x) dacă fiecare termen din ecuația sa este înmulțit cu trei? Ne vom referi la rezultatul acestei multiplicări ca g (x):

rețineți că am putea scrie cu ușurință această a doua funcție în termenii primei:

definind g(x) în acest fel, afirmăm în mod explicit că fiecare y-coordonată produsă de g(x) va fi de trei ori coordonata y corespunzătoare pe f(x). Cu alte cuvinte, g(x) este f(x) dilatat vertical cu un factor de trei.

fiecare punct de pe graficul lui g (x) de mai jos (parabola superioară, punctată) este de trei ori mai departe de axa x decât punctul corespunzător de pe f (x):

acest proces funcționează pentru orice funcție.

de fiecare dată când rezultatul unei funcții părinte este înmulțit cu o valoare, funcția părinte este dilatată vertical. Dacă f (x) este funcția părinte, atunci

dilată f(x) vertical cu un factor de „a”.

să aplicăm această idee unei funcții trigonometrice:

pe baza explicației din paragraful anterior, putem concluziona că

reprezintă o dilatare verticală cu -5 de

dacă aplicăm această abordare la o altă funcție de tip

puteți vedea că o putem analiza în același mod:

dilatată vertical cu un factor de k devine:

aplicând această abordare la o funcție și mai complexă situație:

funcția părinte în acest caz este

rețineți că fiecare instanță a „X” din F(X) a înlocuit-o (x-1), ceea ce traduce F(X) orizontal cu +1. Apoi, acest rezultat a fost înmulțit cu 3, provocând o dilatare verticală cu un factor de 3:

traducerea verticală originală și interceptarea y a +1 ( termenul constant în definiția f(x) ) este, de asemenea, afectat de dilatarea verticală și devine +3 în g(x)… de trei ori distanța față de axa x care a fost inițial.

un ultim exemplu:

funcția părinte

a fost dilatată vertical cu un factor de +2, tradusă orizontal cu + 7 și apoi tradusă vertical cu + 3( După ce a fost dilatată vertical), pentru a produce g (x):

Dilatare orizontală

să revenim la graficul:

ce se întâmplă cu acest grafic dacă ecuația este modificată prin înmulțirea fiecărui „x” din ecuație cu trei:

încă o dată, putem descrie g(x) mai compact dacă facem acest lucru folosind f(x), totuși de data aceasta factorul de dilatare este înmulțit cu „variabila de intrare” a funcției în loc de „rezultatul” acesteia (așa cum s-a făcut pentru a produce o dilatare verticală):

rețineți că F(X) trece prin punctul (3,13). Din moment ce ne gândim la dilatații orizontale, să ne întrebăm „ce valoare trebuie să aibă” x ” dacă g(x) este de a produce aceeași ieșire de 13?”

de când (3,13) s-a mutat în (1,13), înmulțirea fiecărui „x” în f(x) cu 3 a comprimat graficul pe orizontală, fiecare punct fiind mutat la o treime din distanța anterioară față de axa y.

dacă înmulțirea rezultatului unei funcții cu un factor determină o dilatare verticală cu același factor, de ce înmulțirea variabilei de intrare cu un factor determină o dilatare orizontală cu reciprocul acelui factor? Pentru a pune întrebarea într-un alt mod, Dacă folosind un coeficient mai mare decât unul extinde lucrurile pe verticală, de ce micșorează lucrurile pe orizontală? Această diferență de efect pare contra-intuitivă la prima vedere. Diferența apare deoarece dilatațiile verticale apar atunci când scalăm ieșirea unei funcții, în timp ce dilatările orizontale apar atunci când scalăm intrarea unei funcții.

„x” din originalul f(x) a devenit un „3x” în g(x), deci g(x) atinge o „valoare de intrare” dată de trei ori mai rapid decât f(x). „x” trebuie să fie doar 1/3 la fel de mare în g(x) pentru ca rezultatul ecuației să fie același cu f(x). Prin urmare, toate punctele de pe g(x) au fost scalate pentru a fi 1/3 din Distanța față de axa verticală în care se aflau în f(x).

acest proces funcționează pentru orice funcție. Oricând intrarea „funcției părinte” este înmulțită cu o valoare, funcția părinte este dilatată orizontal. Dacă

este funcția părinte, atunci

reprezintă o dilatare orizontală a funcției părinte cu un factor de „1/a”.

aplicați această idee într-o situație puțin mai complexă:

deci

reprezintă o dilatare orizontală cu un factor de 1/5 (spre axa verticală) de

cu alte cuvinte, perioada de f(x) este , iar perioada de g(x) este

dilatațiile orizontale ale unei funcții pătratice arată un pic mai complex la început, până când vă obișnuiți cu modelul pe care îl căutați:

deci

reprezintă o dilatare orizontală cu un factor de 2 (departe de axa verticală) de

rețineți că fiecare instanță de „x” din funcția părinte trebuie schimbată pentru a fi

pentru ca noua ecuație să reprezinte o dilatare orizontală a părintelui cu un factor de 2.

aplicarea acestei abordări la o situație fracționată:

deci

reprezintă o dilatare orizontală cu un factor de 1/k de

care este diferența?

în contemplarea dilatațiilor verticale și orizontale, este posibil să fi realizat că graficele unor funcții, cum ar fi

ar putea fi considerate fie o dilatare verticală cu un factor de 4, fie o dilatare orizontală cu un factor de 1/2. Este interesant de observat că ambele dilatații, întinzându-l vertical sau strângându-l orizontal, au același rezultat final pentru această funcție. Acest lucru poate fi valabil și pentru alte funcții? Luați în considerare următoarele ecuații echivalente:

acest exemplu demonstrează că unele funcții pot fi transformate în același rezultat final fie printr-o dilatare orizontală, o dilatare verticală sau o combinație a ambelor. În exemplul de mai sus, următoarele trei seturi de dilatații și traduceri ale funcției părinte produc același grafic:
1) dilatat orizontal cu un factor de 1/6, apoi tradus orizontal cu +2. Fără dilatare verticală.
2) dilatat orizontal cu un factor de 1/3, apoi tradus orizontal cu + 2. Dilatat vertical cu un factor de 4.
3) fără dilatare orizontală, tradusă orizontal cu +2. Dilatat vertical cu un factor de 36.

observați cum se schimbă traducerile orizontale pe măsură ce se schimbă dilatațiile orizontale. Deoarece o dilatare orizontală micșorează întregul grafic spre axa verticală, traducerea orizontală a graficului se micșorează cu același factor. Deoarece factorul inițial de dilatare orizontală de 1/6 din exemplul de mai sus este crescut cu un factor de 6 pentru a fi 1 (devenind transformat într-un factor de dilatare verticală de 36 în proces), traducerea orizontală originală a 12 se micșorează cu un factor de 6 pentru a deveni 2.

Deci, care dintre toate opțiunile de mai sus este modul „normal” de a descrie acest grafic? A avea un mod preferat de a-l descrie va face mai probabil ca diferiți oameni să descrie graficul în același mod…

modul „normal” de a descrie o combinație de dilatații și Traduceri este de a converti toate dilatațiile în dilatații verticale prin manipularea expresiei, astfel încât variabila independentă să aibă un coeficient de o singură:

deci această ecuație reprezintă o dilatare verticală cu un factor de 36 și o traducere orizontală de +2 a ecuației

dacă nu v-ar interesa dilatarea verticală, ci doar traducerea orizontală, ați putea rezolva expresia variabilă independentă (înainte de a aplica orice exponent) pentru zero:

care ne spune că „funcția părinte” a fost tradusă orizontal cu +2 după ce toate dilatările au fost efectuate.

Dilatare despre linii departe de o axă

în unele situații, va fi util să se dilate o funcție în raport cu o linie orizontală sau verticală, alta decât axa. Pentru a realiza acest lucru, trebuie să:

1. traduceți graficul astfel încât partea graficului care urmează să rămână neschimbată prin dilatare să fie mutată pe axa
2. dilatați graficul cu suma dorinței
3. traduceți funcția dilatată înapoi la locația inițială

să presupunem că dorim să dilatăm o funcție f(x) vertical cu un factor de 3 despre linia y=2. Pașii de mai sus produc următoarele pentru funcția f (x):

traduceți f (x) în jos 2, astfel încât linia despre care dorim să dilatăm să fie mutată pe axa x:

dilatați funcția tradusă vertical cu un factor de 3:

acum „anulați” traducerea verticală originală traducând-o înapoi 2:

dacă graficați atât f(x), cât și g(x) pe același grafic, așa cum se arată mai sus, veți observa că cele două grafice se intersectează la linia y=2, Care este linia despre care am dilatat f (x). Acestea sunt singurele două puncte de pe graficul lui f(x) care rămân neschimbate de dilatare.

același proces poate fi urmat pentru a crea dilatări orizontale despre o linie verticală: traduceți funcția pe orizontală, apoi dilatați-o, apoi traduceți rezultatul înapoi de unde a început.

vrei să joci?

dacă doriți să vă jucați cu dilatații verticale și să vedeți cum funcționează, încercați oricare dintre următoarele applet-uri Geogebra. Singurul care vă permite să jucați cu dilatații orizontale este ultimul (funcția sinusoidală):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function