Funktionsutvidgningar: hur man känner igen och analyserar dem

detta inlägg skrevs 2010. För min nuvarande inställning till detta ämne, som använder transformationsekvationer, följ den här länken: Funktionstransformationer: Dilation

detta inlägg utforskar en typ av funktionstransformation: ”dilation”. Om du inte är bekant med ”översättning”, som är en enklare typ av omvandling, kanske du vill läsa Funktionsöversättningar: hur man känner igen och analyserar dem först.

en funktion har ” utvidgats ”(notera stavningen… den stavas inte eller uttalas” dialated”) när den har sträckts bort från en axel eller komprimerats mot en axel.

Föreställ dig en graf som har ritats på elastiskt grafpapper och fästs på en fast yta längs en av axlarna. Ta tag i det elastiska papperet med båda händerna, en hand på vardera sidan av axeln som är fastsatt på ytan och dra båda sidorna av papperet bort från axeln. Om du gör det ”utvidgar” grafen, vilket gör att alla punkter rör sig bort från axeln till en multipel av deras ursprungliga avstånd från axeln. Som ett exempel på detta, överväga följande diagram:

diagrammet ovan visar en funktion före och efter en vertikal utvidgning. Koordinaterna för två punkter på den heldragna linjen visas, liksom koordinaterna för de två motsvarande punkterna på den streckade linjen, för att hjälpa dig att verifiera att den streckade linjen är exakt dubbelt så långt från x-axeln som samma färgpunkt på den heldragna linjen.

ursprunget är en punkt som delas av båda raderna, och det är användbart att notera att den streckade linjen fortfarande är ”dubbelt så långt från x-axeln” vid ursprunget, eftersom . Varje punkt som uppfyller en funktionsdefinition och ligger på x-axeln kommer inte att röra sig när funktionen utvidgas vertikalt.

det finns två sätt att beskriva förhållandet mellan de två funktionerna som visas ovan. Antingen:

• den heldragna linjen har ” utvidgats vertikalt med en faktor 2 ”för att producera den streckade linjen, eller
• den streckade linjen har” utvidgats vertikalt med en faktor 0.5 ” för att producera den heldragna linjen.

båda satserna beskriver grafen korrekt. I allmänhet kommer dock funktionsdefinitionen som är enklaste (i algebraiska termer) att betraktas som ”förälder”-funktionen, med den mer komplexa definitionen som beskrivs som en utvidgning av den enklare funktionen.

till exempel

(graferad som den streckade kurvan nedan), är lättare att analysera om du uppfattar det som RELATERAT till en enklare” förälder ” – funktion:

(graferad som den fasta kurvan nedan) som har både utvidgats och översatts:

f(x) har utvidgats vertikalt med en faktor 3, sedan översatt vertikalt med +5 och horisontellt med +1 för att producera g(x).

den blå punkten vid ursprunget, som är vertexen för den fasta parabolen, hade sin y-koordinat (0) multiplicerad med tre och hade sedan fem tillsatt till den:

(0) x 3 + 5 = 5

den flyttades sedan en enhet till höger, vilket fick dess x-koordinat att ändras från 0 till 1. Så,” förälder ” vertex som var vid ursprunget ligger vid (1, 5) i den transformerade funktionen.

den gröna punkten på den fasta parabolen (2, 4) hade också sin y-koordinat (4) multiplicerad med tre och hade fem tillagda till den:

4 x 3 + 5 = 17

det skiftades sedan en enhet till höger, precis som vertexen var, och den punkten (3 ,17) uppfyller ekvationen för den streckade parabolen, g(x).

att visualisera funktioner som översättningar och utvidgningar av en enklare ”föräldrafunktion” kan göra komplexa ekvationer mycket lättare att tolka.

Observera att en negativ utvidgningsfaktor orsakar både en utvidgning och en reflektion kring axeln. Alla punkter som var på ena sidan av utvidgningsaxeln reflekteras till den andra sidan av axeln med en negativ utvidgningsfaktor.

vertikal utvidgning

Tänk på den fasta parabolen nedan, som representerar funktionen:

om den översätts vertikalt med +4, så att dess toppunkt rör sig från (0,0) till (0,4), blir ekvationen:

som graferas av den streckade parabolen nedan. Vad händer med grafen av den streckade parabolen f (x) om varje term i dess ekvation multipliceras med tre? Vi hänvisar till resultatet av denna multiplikation som g (x):

Observera att vi lätt kan skriva den andra funktionen i termer av den första:

genom att definiera g(x) på detta sätt anger vi uttryckligen att varje y-koordinat som produceras av g(x) kommer att vara tre gånger motsvarande y-koordinat på f(x). Med andra ord är g(x) f(x) dilaterad vertikalt med en faktor tre.

varje punkt på grafen på g (x) nedan (den övre, prickade parabolen) är tre gånger längre bort från x-axeln än motsvarande punkt på f (x):

denna process fungerar för alla funktioner.

varje gång resultatet av en överordnad funktion multipliceras med ett värde utvidgas överordnad funktion vertikalt. Om f (x) är moderfunktionen, utvidgar

f(x) vertikalt med en faktor ”a”.

låt oss tillämpa den här tanken på en trigonometrisk funktion:

baserat på förklaringen i föregående stycke kan vi dra slutsatsen att

representerar en vertikal utvidgning med -5 av

om vi tillämpar detta tillvägagångssätt på en annan typfunktion

du kan se att vi kan analysera det på samma sätt:

dilaterad vertikalt med en faktor k blir:

tillämpa detta tillvägagångssätt på en ännu mer komplex situation:

den överordnade funktionen i detta fall är

observera att varje instans av ”X” i f(X) har haft (x-1) ersatt det, vilket översätter F(X) horisontellt med +1. Sedan multiplicerades detta resultat med 3, vilket orsakade en vertikal utvidgning med en faktor 3:

den ursprungliga vertikala översättningen och y-avlyssningen av +1 ( den konstanta termen i definitionen av f(x) ) påverkas också av den vertikala utvidgningen och blir +3 i g(x)… tre gånger avståndet från x-axeln som den ursprungligen var.

ett sista exempel:

moderfunktionen

har utvidgats vertikalt med en faktor +2, översatts horisontellt med +7 och sedan översatt vertikalt med +3 (Efter att ha utvidgats vertikalt) för att producera g (x):

horisontell utvidgning

låt oss återgå till grafen för:

vad händer med denna graf om ekvationen ändras genom att multiplicera varje ”x” i ekvationen med tre:

återigen kan vi beskriva g(x) mer kompakt om vi gör det med f(x), Men den här gången multipliceras utvidgningsfaktorn med funktionens ”ingångsvariabel” istället för dess ”resultat” (som gjordes för att producera en vertikal utvidgning):

Observera att f(X) passerar genom punkten (3,13). Eftersom vi tänker på horisontella utvidgningar, låt oss fråga ”Vilket värde måste” x ” ha om g(x) ska producera samma effekt på 13?”

sedan (3,13) flyttades till(1,13) har multiplicering av varje ”x” i f (x) med 3 komprimerat grafen horisontellt, där varje punkt flyttas till en tredjedel av sitt tidigare avstånd från y-axeln.

om multiplicering av resultatet av en funktion med en faktor orsakar en vertikal utvidgning med samma faktor, varför multiplicerar ingångsvariabeln med en faktor en horisontell utvidgning med den ömsesidiga av den faktorn? Att ställa frågan på ett annat sätt, om man använder en koefficient som är större än en expanderar saker vertikalt, varför krymper det saker horisontellt? Denna skillnad i effekt verkar kontraintuitiv vid första anblicken. Skillnaden uppstår eftersom vertikala dilatationer uppstår när vi skalar utmatningen av en funktion, medan horisontella dilatationer uppstår när vi skalar inmatningen av en funktion.

” x ”i originalet f(x) blev en” 3x ”i g(x), så g(x) når ett givet” ingångsvärde ” tre gånger snabbare än f(x). ”x” behöver bara vara 1/3 så stor i g(x) för att resultatet av ekvationen ska vara detsamma som f(x). Därför har alla punkter på g(x) skalats till 1/3 av avståndet från den vertikala axeln som de var i f(x).

denna process fungerar för alla funktioner. När som helst inmatningen av” föräldrafunktionen ” multipliceras med ett värde, utvidgas föräldrafunktionen horisontellt. Om

är överordnad funktion, representerar

en horisontell utvidgning av överordnad funktion med en faktor ”1/a”.

tillämpa denna ide på en något mer komplex situation:

så

representerar en horisontell utvidgning med en faktor 1/5 (mot den vertikala axeln) på

med andra ord är perioden f (x) och perioden g (x) är

horisontella utvidgningar av en kvadratisk funktion ser lite mer komplex ut först tills du blir van vid det mönster du letar efter:

så

representerar en horisontell utvidgning med en faktor 2 (bort från den vertikala axeln) på

Observera att varje instans av ”x” i moderfunktionen måste ändras till

för att den nya ekvationen ska representera en horisontell utvidgning av föräldern med en faktor 2.

tillämpa detta tillvägagångssätt på en fraktionerad situation:

så

representerar en horisontell utvidgning med en faktor 1/k av

Vad är skillnaden?

vid övervägande av både vertikala och horisontella utvidgningar kan du ha insett att graferna för vissa funktioner, till exempel

kan betraktas som antingen en vertikal utvidgning med en faktor 4 eller en horisontell utvidgning med en faktor 1/2. Det är intressant att notera att båda utvidgningarna, sträcker den vertikalt eller klämmer den horisontellt, har samma slutresultat för denna funktion. Kan detta vara sant för andra funktioner också? Tänk på följande ekvivalenta ekvationer:

detta exempel visar att vissa funktioner kan omvandlas till samma slutresultat genom antingen en horisontell utvidgning, en vertikal utvidgning eller en kombination av båda. I exemplet ovan ger följande tre uppsättningar utvidgningar och översättningar av moderfunktionen samma graf:
1) dilaterad horisontellt med en faktor 1/6, sedan översatt horisontellt med +2. Ingen vertikal utvidgning.
2) dilaterad horisontellt med en faktor 1/3, sedan översatt horisontellt med +2. Dilaterad vertikalt med en faktor 4.
3) ingen horisontell utvidgning, översatt horisontellt med +2. Dilaterad vertikalt med en faktor 36.

notera hur de horisontella översättningarna ändras när de horisontella utvidgningarna ändras. Eftersom en horisontell utvidgning krymper hela grafen mot den vertikala axeln krymper grafens horisontella översättning med samma faktor. Eftersom den ursprungliga horisontella utvidgningsfaktorn på 1/6 i exemplet ovan ökas med en faktor 6 till 1 (omvandlas till en vertikal utvidgningsfaktor på 36 i processen) krymper den ursprungliga horisontella översättningen av 12 med en faktor 6 för att bli 2.

så vilket av alla ovanstående alternativ är det ”normala” sättet att beskriva denna graf? Att ha ett föredraget sätt att beskriva det kommer att göra det mer troligt att olika människor kommer att beskriva grafen på samma sätt …

det ”normala” sättet att beskriva en kombination av utvidgningar och översättningar är att konvertera alla utvidgningar till vertikala utvidgningar genom att manipulera uttrycket så att den oberoende variabeln har en koefficient på en:

så denna ekvation representerar en vertikal utvidgning med en faktor 36 och en horisontell översättning av +2 av ekvationen

om du inte var intresserad av den vertikala utvidgningen, men bara i den horisontella översättningen, kan du lösa det oberoende variabeluttrycket (innan du applicerar någon exponent) för noll:

som säger att ”föräldrafunktionen” har översatts horisontellt med +2 Efter att alla utvidgningar har utförts.

utvidgning om linjer bort från en axel

i vissa situationer kommer det att vara användbart att utvidga en funktion i förhållande till en horisontell eller vertikal linje annan än axeln. För att uppnå detta måste vi:

1. Översätt grafen så att den del av grafen som ska förbli oförändrad genom utvidgningen flyttas till axeln
2. dilatera grafen med önskemängden
3. översätt den dilaterade funktionen tillbaka till sin ursprungliga plats

Antag att vi vill utvidga en funktion f(x) vertikalt med en faktor 3 om linjen y=2. Ovanstående steg ger följande för funktionen f (x):

Översätt f (x) ner 2, så att linjen som vi vill utvidga flyttas till x-axeln:

dilatera den översatta funktionen vertikalt med en faktor 3:

nu ”ångra” den ursprungliga vertikala översättningen genom att översätta den tillbaka 2:

om du ritar både f(x) och g(x) på samma graf, som visas ovan, kommer du att notera att de två graferna skär varandra vid linjen y=2, vilket är den linje som vi utvidgade f (x). Det är de enda två punkterna på grafen av f (x) som förblir oförändrade av utvidgningen.

samma process kan följas för att skapa horisontella dilatationer om någon vertikal linje: översätt funktionen horisontellt, dilatera den och översätt sedan resultatet tillbaka till var det började.

vill du spela?

om du vill leka med vertikala utvidgningar och se hur de fungerar, prova någon av följande Geogebra-applets. Den enda som låter dig spela med horisontella dilatationer är den sista (sinusfunktion):
– Quadratic function in vertex form
– Exponential function
– Sine function